Estudio de continuidad, derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) (1.25 puntos) Calcule los valores $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en su dominio.** Primero analizamos el dominio de la función. La primera rama $2 + \frac{a}{x-1}$ tiene una discontinuidad en $x=1$, pero como esa rama solo está definida para $x \lt 0$, no afecta al dominio. La segunda rama es una función exponencial, continua en todo $\mathbb{R}$. Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. Para que sea continua en su dominio, el único punto conflictivo es el salto entre ramas en $x=0$. Estudiamos los límites laterales y el valor de la función: 1. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( 2 + \frac{a}{x-1} \right) = 2 + \frac{a}{-1} = 2 - a.$$ 2. Límite por la derecha y valor en el punto ($x \to 0^+$): $$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + b e^x) = a + b e^0 = a + b.$$ Para que sea continua en $x=0$: $$2 - a = a + b \implies 2a + b = 2$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Para que sea derivable, primero calculamos la derivada de la función en las regiones abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{a}{(x-1)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ b e^x & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Estudiamos las derivadas laterales en $x=0$: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = -\frac{a}{(0-1)^2} = -a.$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = b e^0 = b.$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben coincidir: $$-a = b$$ 💡 **Tip:** Para derivar $2 + a(x-1)^{-1}$, aplicamos la regla de la cadena: $f'(x) = a \cdot (-1) \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{a}{(x-1)^2}$.

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las condiciones de continuidad y derivabilidad: $$\begin{cases} 2a + b = 2 \\ b = -a \end{cases}$$ Sustituyendo $b = -a$ en la primera ecuación: $$2a + (-a) = 2 \implies a = 2.$$ Calculamos $b$: $$b = -a = -2.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -2}$$

**b) (0.75 puntos) Para $a = 2$ y $b = -2$, estudie la monotonía de la función $f$ y calcule sus extremos relativos.** Sustituimos los valores y obtenemos $f(x)$ y su derivada: $$f(x) = \begin{cases} 2 + \dfrac{2}{x-1} & \text{si } x \lt 0 \\ 2 - 2 e^x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}, \quad f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{2}{(x-1)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ -2 e^x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada tramo: - Para $x \lt 0$: El denominador $(x-1)^2$ es siempre positivo y el numerador $-2$ es negativo. Por tanto, $f'(x) \lt 0$. - Para $x \ge 0$: La función $e^x$ es siempre positiva, multiplicada por $-2$ resulta $f'(x) \lt 0$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & -2 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Decreciente} & \searrow \end{array}$$ Como la derivada es siempre negativa en todo el dominio ($f'(x) \lt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$), la función es **estrictamente decreciente** en $\mathbb{R}$. Al ser estrictamente decreciente y no haber puntos donde la derivada sea cero o no exista (siendo continua), **no existen extremos relativos**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } \mathbb{R}. \text{ No existen extremos relativos.}}$$

**c) (0.5 puntos) Para $a = 2$ y $b = -2$, determine las ecuaciones de las asíntotas de $f$, si existen.** **1. Asíntotas Verticales (AV):** No existen, ya que el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua en todo su dominio (visto en el apartado a). **2. Asíntotas Horizontales (AH):** - Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$\lim_{x \to -\infty} \left( 2 + \frac{2}{x-1} \right) = 2 + 0 = 2.$$ Hay una AH en **$y = 2$** cuando $x \to -\infty$. - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} (2 - 2 e^x) = 2 - \infty = -\infty.$$ No hay AH por la derecha. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** - Solo buscamos por la derecha ($x \to +\infty$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - 2 e^x}{x} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ Usando L'Hôpital: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2 e^x}{1} = -\infty.$$ No hay AO. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y = 2 \text{ (cuando } x \to -\infty); \text{ AO: No hay}}$$