Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Primero, definimos los sucesos para la primera y la segunda extracción: - $R_1$: extraer bola roja en la primera extracción. - $B_1$: extraer bola azul en la primera extracción. - $R_2$: extraer bola roja en la segunda extracción. - $B_2$: extraer bola azul en la segunda extracción. Analicemos el contenido de la urna tras la primera extracción según la regla de reemplazo: 1. Si sale $R_1$ ($P(R_1) = \frac{6}{10}$): quitamos la roja y añadimos 6 azules. La urna pasa de (6R, 4B) a (5R, 10B). Total: 15 bolas. 2. Si sale $B_1$ ($P(B_1) = \frac{4}{10}$): quitamos la azul y añadimos 6 rojas. La urna pasa de (6R, 4B) a (12R, 3B). Total: 15 bolas. Representamos esto en un **diagrama de árbol**:

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.** Para calcular $P(R_2)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de todas las ramas que terminan en $R_2$: $$P(R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) + P(B_1) \cdot P(R_2|B_1)$$ Sustituimos los valores obtenidos del análisis anterior: $$P(R_2) = \left(\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{15}\right) + \left(\frac{4}{10} \cdot \frac{12}{15}\right)$$ Realizamos las operaciones: $$P(R_2) = \frac{30}{150} + \frac{48}{150} = \frac{78}{150}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 6: $$P(R_2) = \frac{13}{25} = 0.52$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_2) = 0.52}$$

**b) (1 punto) Si sabemos que la segunda bola extraída es azul, ¿cuál es la probabilidad de que también lo haya sido la primera?** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(B_1|B_2)$. Para resolverlo, utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B_1|B_2) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$$ Primero, calculamos $P(B_2)$. Como sabemos que $P(R_2) + P(B_2) = 1$: $$P(B_2) = 1 - P(R_2) = 1 - 0.52 = 0.48$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (el camino de "primera azul y segunda azul"): $$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{15} = \frac{12}{150} = 0.08$$ Finalmente, aplicamos Bayes: $$P(B_1|B_2) = \frac{0.08}{0.48} = \frac{8}{48}$$ Simplificamos dividiendo entre 8: $$P(B_1|B_2) = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular probabilidades "hacia atrás" en el tiempo o en la causalidad, conociendo el resultado final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_1|B_2) = \frac{1}{6} \approx 0.1667}$$