Probabilidad de bombillas defectuosas: LED y halógenas

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa.** En primer lugar, definimos los sucesos del problema: - $L$: La bombilla elegida es de tipo LED. - $H$: La bombilla elegida es de tipo halógena. - $D$: La bombilla elegida es defectuosa. - $\bar{D}$: La bombilla elegida no es defectuosa (está en buen estado). Calculamos las probabilidades de elegir cada tipo de bombilla sabiendo que en la caja hay un total de $40 + 10 = 50$ bombillas: - $P(L) = \dfrac{40}{50} = 0.8$ - $P(H) = \dfrac{10}{50} = 0.2$ Las probabilidades de ser defectuosa según el tipo son: - $P(D|L) = 5\% = 0.05 \implies P(\bar{D}|L) = 1 - 0.05 = 0.95$ - $P(D|H) = 2\% = 0.02 \implies P(\bar{D}|H) = 1 - 0.02 = 0.98$ Representamos la situación en un **diagrama de árbol**:

Para calcular la probabilidad de que la bombilla no sea defectuosa $P(\bar{D})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que debemos sumar las probabilidades de llegar al suceso $\bar{D}$ a través de todas las ramas posibles (LED o Halógena): $$P(\bar{D}) = P(L) \cdot P(\bar{D}|L) + P(H) \cdot P(\bar{D}|H)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama: $$P(\bar{D}) = 0.8 \cdot 0.95 + 0.2 \cdot 0.98$$ $$P(\bar{D}) = 0.76 + 0.196$$ $$P(\bar{D}) = 0.956$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D}) = 0.956}$$ (La probabilidad de que no sea defectuosa es del $95.6\%$).

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa.** Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad de que ocurra la causa ($L$) dado que ya conocemos el efecto ($D$). Usaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(L|D) = \frac{P(L \cap D)}{P(D)} = \frac{P(L) \cdot P(D|L)}{P(D)}$$ Primero, necesitamos $P(D)$. Como sabemos que $P(\bar{D}) = 0.956$, podemos calcular su complementario: $$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0.956 = 0.044$$ Ahora calculamos la probabilidad de que sea LED y defectuosa: $$P(L \cap D) = P(L) \cdot P(D|L) = 0.8 \cdot 0.05 = 0.04$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(L|D) = \frac{0.04}{0.044} = \frac{40}{44} = \frac{10}{11} \approx 0.9091$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "rama inicial" condicionada a un "resultado final". Es muy común en exámenes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L|D) = \frac{10}{11} \approx 0.9091}$$