Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza al 97.5% para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado sobre la población y la muestra: 1. **Tamaño de la muestra ($n$):** $n = 16$ pacientes. 2. **Varianza poblacional ($\sigma^2$):** $\sigma^2 = 4$. De aquí obtenemos la desviación típica poblacional: $$\sigma = \sqrt{4} = 2$$ 3. **Media muestral ($\bar{x}$):** Calculamos el promedio de los datos proporcionados: $$\bar{x} = \frac{8 + 9.2 + 10 + 8.5 + 12 + 9 + 11.3 + 7 + 8.5 + 8.3 + 7.6 + 9 + 9.4 + 10.5 + 8.9 + 6.8}{16}$$ $$\bar{x} = \frac{144}{16} = 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula del intervalo de confianza utiliza la desviación típica ($\sigma$), no la varianza ($\sigma^2$). ¡Asegúrate siempre de calcular la raíz cuadrada si te dan la varianza!

Para un nivel de confianza del $97.5\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.975$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.975 = 0.025$$ $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.025}{2} = 0.0125$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0125 = 0.9875$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.9875$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.24}$$

El error máximo permitido ($E$) se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos nuestros datos: $$E = 2.24 \cdot \frac{2}{\sqrt{16}} = 2.24 \cdot \frac{2}{4} = 2.24 \cdot 0.5 = 1.12$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (9 - 1.12, \, 9 + 1.12)$$ $$IC = (7.88, \, 10.12)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (7.88, \, 10.12)}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90%, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0.3 minutos?** Para este apartado, el nivel de confianza cambia a $90\%$, por lo que debemos calcular un nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si $1 - \alpha = 0.90$, entonces: $$\alpha = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ En las tablas de la Normal, el valor $0.95$ se encuentra justo entre $1.64$ y $1.65$. Por convenio, utilizamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90\%$ ($1.645$), $95\%$ ($1.96$) y $99\%$ ($2.575$) son los más habituales; es muy útil memorizarlos para ahorrar tiempo.

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los datos del enunciado ($E = 0.3$, $\sigma = 2$, $z_{\alpha/2} = 1.645$): $$\sqrt{n} = \frac{1.645 \cdot 2}{0.3} = \frac{3.29}{0.3} = 10.966...$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n = (10.966...)^2 = 120.267...$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **a lo sumo** (como máximo) $0.3$, debemos redondear siempre al entero superior para que el error real sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 121 \text{ pacientes}}$$