Optimización de entrenamientos: Programación Lineal

En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que son el número de entrenamientos de cada tipo que debe realizar el corredor. Llamamos: - $x$: Número de entrenamientos de tipo **corto**. - $y$: Número de entrenamientos de tipo **largo**. Como el número de entrenamientos no puede ser negativo, añadimos las restricciones implícitas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$

Para plantear las desigualdades (restricciones), organizamos la información del enunciado en una tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Tipo de entrenamiento} & \text{Horas/sesión} & \text{Distancia (km)} & \text{Consumo (kcal)} \\ \hline \text{Corto (x)} & 1 & 15 & 1200 \\ \hline \text{Largo (y)} & 3 & 30 & 2500 \\ \hline \text{Limitaciones} & \le 48 \text{ h} & \le 660 \text{ km} & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ Además, se indica que debe realizar **al menos 24 entrenamientos** en total ($x + y \ge 24$). 💡 **Tip:** Lee con atención las palabras clave como "al menos" ($\ge$) y "no más de" ($\le$).

Traducimos las condiciones a un sistema de inecuaciones (restricciones): 1. **Número total de entrenamientos:** $x + y \ge 24$ 2. **Kilómetros totales:** $15x + 30y \le 660$ 3. **Tiempo total:** $x + 3y \le 48$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ Podemos simplificar la segunda restricción dividiendo entre $15$: $$15x + 30y \le 660 \implies x + 2y \le 44$$ La **función objetivo** $Z(x, y)$, que representa las kilocalorías totales a maximizar, es: $$\boxed{Z(x, y) = 1200x + 2500y}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita el dibujo de las rectas y el cálculo de los vértices.

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible (la zona donde se cumplen todas las condiciones): - $r_1: x + y = 24$. Pasa por $(24, 0)$ y $(0, 24)$. Como es $\ge$, la zona es superior. - $r_2: x + 2y = 44$. Pasa por $(44, 0)$ y $(0, 22)$. Como es $\le$, la zona es inferior. - $r_3: x + 3y = 48$. Pasa por $(48, 0)$ y $(0, 16)$. Como es $\le$, la zona es inferior. La región factible es el polígono cuyos vértices calcularemos a continuación.

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Punto A** (Eje $X$ con $r_1$): $y=0$ y $x+y=24 \implies A(24, 0)$ - **Punto B** (Eje $X$ con $r_2$): $y=0$ y $x+2y=44 \implies B(44, 0)$ - **Punto C** (Intersección $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} x + 2y = 44 \\ x + 3y = 48 \end{cases} \implies \text{Restando: } y = 4 \implies x + 8 = 44 \implies x = 36 \implies C(36, 4)$$ - **Punto D** (Intersección $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} x + y = 24 \\ x + 3y = 48 \end{cases} \implies \text{Restando: } 2y = 24 \implies y = 12 \implies x + 12 = 24 \implies x = 12 \implies D(12, 12)$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que los puntos obtenidos cumplen todas las inecuaciones originales para confirmar que pertenecen a la región factible. $$\text{Vértices: } A(24, 0), \, B(44, 0), \, C(36, 4), \, D(12, 12)$$

Evaluamos la función $Z(x, y) = 1200x + 2500y$ en cada uno de los vértices hallados: - $Z(A) = Z(24, 0) = 1200(24) + 2500(0) = 28.800 \text{ kcal}$ - $Z(B) = Z(44, 0) = 1200(44) + 2500(0) = 52.800 \text{ kcal}$ - $Z(C) = Z(36, 4) = 1200(36) + 2500(4) = 43.200 + 10.000 = \mathbf{53.200 \text{ kcal}}$ - $Z(D) = Z(12, 12) = 1200(12) + 2500(12) = 14.400 + 30.000 = 44.400 \text{ kcal}$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(36, 4)$. ✅ **Resultado final:** Para maximizar el consumo de kilocalorías, el corredor debe realizar **36 entrenamientos cortos** y **4 entrenamientos largos**. En ese caso, consumirá un total de **$\boxed{53.200 \text{ kilocalorías}}$**.