Sistema de ecuaciones: Venta de entradas en un museo

Para resolver el problema, lo primero es identificar las incógnitas basándonos en lo que nos pide el enunciado: - $x$: número de niños que visitaron el museo. - $y$: número de jóvenes que visitaron el museo. - $z$: número de adultos que visitaron el museo. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. **Recaudación total:** La suma del dinero aportado por cada grupo es 600 euros. Como las entradas cuestan 1€, 2€ y 5€ respectivamente: $$1x + 2y + 5z = 600$$ 2. **Relación de adultos:** El número de adultos ($z$) es el doble de la suma de niños ($x$) y jóvenes ($y$): $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ 3. **Supuesto de los jóvenes:** Si hubiera 100 jóvenes más ($y + 100$), su número sería igual a la suma de niños ($x$) y adultos ($z$): $$y + 100 = x + z \implies x - y + z = 100$$ 💡 **Tip:** En problemas con enunciados largos, lee frase a frase y escribe cada restricción por separado antes de juntarlas en el sistema.

Agrupamos las tres ecuaciones obtenidas para formar nuestro sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 2y + 5z = 600 \\ 2x + 2y - z = 0 \\ x - y + z = 100 \end{cases}$$ Para resolverlo de forma organizada, utilizaremos el **método de Gauss**, que consiste en trabajar con la matriz ampliada del sistema para obtener una forma escalonada. $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 600 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 100 \end{array}\right)$$

Primero, reordenamos las filas para que el cálculo sea más sencillo (poniendo la tercera fila en segundo lugar por tener coeficientes más bajos). $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 600 \\ 1 & -1 & 1 & 100 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales para hacer ceros en la primera columna: - $F_2 \leftarrow F_2 - F_1$ - $F_3 \leftarrow F_3 - 2F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 600 \\ 0 & -3 & -4 & -500 \\ 0 & -2 & -11 & -1200 \end{array}\right)$$ Ahora buscamos hacer un cero en la segunda columna (posición $a_{32}$). Para evitar fracciones, multiplicamos $F_3$ por 3 y $F_2$ por 2: - $F_3 \leftarrow 3F_3 - 2F_2$ Operación detallada: $3(0, -2, -11, -1200) - 2(0, -3, -4, -500) = (0, -6+6, -33+8, -3600+1000) = (0, 0, -25, -2600)$ Nuestra matriz queda: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 600 \\ 0 & -3 & -4 & -500 \\ 0 & 0 & -25 & -2600 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Gauss, intenta siempre que el pivote (el primer elemento de la fila con la que operas) sea 1 o -1 para simplificar las restas.

Ahora resolvemos el sistema escalonado empezando por la última ecuación: 1. **Hallar $z$:** $$-25z = -2600 \implies z = \frac{-2600}{-25} = 104$$ 2. **Hallar $y$** sustituyendo $z$ en la segunda ecuación: $$-3y - 4(104) = -500$$ $$-3y - 416 = -500$$ $$-3y = -500 + 416 \implies -3y = -84 \implies y = \frac{-84}{-3} = 28$$ 3. **Hallar $x$** sustituyendo $y$ y $z$ en la primera ecuación: $$x + 2(28) + 5(104) = 600$$ $$x + 56 + 520 = 600$$ $$x + 576 = 600 \implies x = 600 - 576 = 24$$ 💡 **Tip:** Comprueba siempre los resultados sustituyendo los valores en las ecuaciones originales para asegurar que no hay errores de cálculo.

Tras resolver el sistema, obtenemos los siguientes valores para cada grupo de visitantes: - Número de niños ($x$): **24** - Número de jóvenes ($y$): **28** - Número de adultos ($z$): **104** ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{Visitaron el museo: 24 niños, 28 jóvenes y 104 adultos}}$$