Estudio completo de una función racional

**a.- (1 punto) Dominio de $f$.** La función $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 12}{x - 1}$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Por lo tanto, el dominio es todo $\mathbb{R}$ menos el valor $1$. 💡 **Tip:** Recuerda que no se puede dividir por cero en el conjunto de los números reales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b.- (3 puntos) ¿Para qué valores de $x$ se cumple $f(x) \lt 0$?** Debemos resolver la inecuación: $$\frac{x^2 - 4x + 12}{x - 1} \lt 0$$ Para estudiar el signo de la fracción, analizamos el signo del numerador y del denominador por separado: 1. **Numerador ($x^2 - 4x + 12$):** Buscamos sus raíces resolviendo $x^2 - 4x + 12 = 0$. $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(12)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2}$$ Como el discriminante es negativo, no tiene raíces reales. Al ser el coeficiente de $x^2$ positivo, el numerador es **siempre positivo** para cualquier valor de $x$. 2. **Denominador ($x - 1$):** Se anula en $x = 1$. Es negativo si $x \lt 1$ y positivo si $x \gt 1$. **Tabla de signos:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline x^2-4x+12 & + & + & + \\ x-1 & - & 0 & + \\\hline f(x) & - & \nexists & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si el numerador no tiene raíces y es positivo, el signo de la función dependerá exclusivamente del signo del denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in (-\infty, 1) \text{ o bien } x \lt 1}$$

**c.- (2 puntos) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.** **Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en los puntos fuera del dominio ($x=1$): $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 12}{x - 1} = \frac{1-4+12}{0} = \frac{9}{0} = \infty$$ Por tanto, existe una **asíntota vertical en $x = 1$**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4x + 12}{x - 1} = \pm\infty$$ No existen asíntotas horizontales ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al ser el grado del numerador exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua $y = mx + n$. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4x + 12}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4x + 12}{x^2 - x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 4x + 12}{x - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4x + 12 - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 12}{x - 1} = -3$$ La asíntota oblicua es **$y = x - 3$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x = 1, \text{ AH: No hay, AO: } y = x - 3}$$

**d.- (4 puntos) Máximos y mínimos relativos de $f$.** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 1) - (x^2 - 4x + 12)(1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4x + 4 - x^2 + 4x - 12}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0$$ Los puntos críticos son **$x = 4$** y **$x = -2$**. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces y el punto de discontinuidad ($x=1$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 1) & 1 & (1, 4) & 4 & (4, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas: - Para $x = -2$: $f(-2) = \frac{(-2)^2 - 4(-2) + 12}{-2 - 1} = \frac{4 + 8 + 12}{-3} = -8$. - Para $x = 4$: $f(4) = \frac{4^2 - 4(4) + 12}{4 - 1} = \frac{16 - 16 + 12}{3} = 4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, -8) \text{ y Mínimo relativo en } (4, 4)}$$