Continuidad, límites al infinito e integrales definidas de funciones a trozos

**a.- (3 puntos) Estudiar la continuidad de $f$.** Para estudiar la continuidad, primero analizamos cada una de las ramas en sus intervalos abiertos: 1. **Rama 1 ($x < -1$):** $f(x) = \frac{3}{x+1}$. Esta función racional es continua en todo su dominio excepto donde el denominador es cero ($x = -1$). Como estamos en el intervalo $(-\infty, -1)$, la función es **continua** en esta región. 2. **Rama 2 ($-1 < x < 4$):** $f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 10$. Es una función polinómica, por lo que es **continua** en todo $\mathbb{R}$, y en particular en el intervalo $(-1, 4)$. 3. **Rama 3 ($x > 4$):** $f(x) = \sqrt{4x^2 - 7x} - 2x$. La raíz cuadrada está definida cuando $4x^2 - 7x \geq 0$. Las raíces de $x(4x-7) = 0$ son $x=0$ y $x=1.75$. Para $x > 4$, el radicando siempre es positivo, por lo que la función es **continua** en $(4, +\infty)$. Debemos estudiar ahora qué ocurre en los puntos de salto: $x = -1$ y $x = 4$.

Para que la función sea continua en $x = -1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda:** $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{3}{x+1} = \frac{3}{0^-} = -\infty$$ 2. **Límite por la derecha:** $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^3 - 4x^2 + 2x - 10) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 2(-1) - 10 = -1 - 4 - 2 - 10 = -17$$ 3. **Valor de la función:** $f(-1) = -17$. Como el límite por la izquierda es $-\infty$, existe una **discontinuidad inevitable de salto infinito** en $x = -1$. 💡 **Tip:** Si alguno de los límites laterales es infinito, decimos que la función presenta una asíntota vertical en ese punto.

Estudiamos el punto $x = 4$: 1. **Límite por la izquierda:** $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (x^3 - 4x^2 + 2x - 10) = 4^3 - 4(4^2) + 2(4) - 10 = 64 - 64 + 8 - 10 = -2$$ 2. **Límite por la derecha:** $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (\sqrt{4x^2 - 7x} - 2x) = \sqrt{4(4)^2 - 7(4)} - 2(4) = \sqrt{64 - 28} - 8 = \sqrt{36} - 8 = 6 - 8 = -2$$ 3. **Valor de la función:** $f(4) = -2$. Como $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = -2$, la función es **continua en $x = 4$**. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{f es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-1\}. \text{ En } x = -1 \text{ hay una discontinuidad de salto infinito.}}$$

**b.- (4,5 puntos) Calcular: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$** Para calcular el límite cuando $x \to +\infty$, utilizamos la tercera rama de la función: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 - 7x} - 2x)$$ Al evaluar, obtenemos la indeterminación $\infty - \infty$. Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 7x} - 2x)(\sqrt{4x^2 - 7x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 - 7x} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(4x^2 - 7x) - (2x)^2}{\sqrt{4x^2 - 7x} + 2x}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 7x - 4x^2}{\sqrt{4x^2 - 7x} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-7x}{\sqrt{4x^2 - 7x} + 2x}$$ Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ (que es $x$ o $\sqrt{x^2}$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-7x}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{7x}{x^2}} + \frac{2x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-7}{\sqrt{4 - \frac{7}{x}} + 2} = \frac{-7}{\sqrt{4-0} + 2} = \frac{-7}{2 + 2} = -\frac{7}{4}$$ 💡 **Tip:** En indeterminaciones de tipo $\infty - \infty$ con raíces, el conjugado es casi siempre la herramienta clave. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{7}{4}}$$

**c.- (2,5 puntos) Calcular: $\int_{1}^{2} f(x) dx$** El intervalo de integración es $[1, 2]$. Este intervalo está contenido dentro de $[-1, 4]$, por lo que debemos usar la segunda rama de la función: $f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 10$. Calculamos la integral definida: $$\int_{1}^{2} (x^3 - 4x^2 + 2x - 10) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + x^2 - 10x \right]_1^2$$ Aplicamos la regla de Barrow: **Para $x = 2$:** $$F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{4(2^3)}{3} + 2^2 - 10(2) = 4 - \frac{32}{3} + 4 - 20 = -12 - \frac{32}{3} = \frac{-36-32}{3} = -\frac{68}{3}$$ **Para $x = 1$:** $$F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{4(1^3)}{3} + 1^2 - 10(1) = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 1 - 10 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} - 9 = \frac{3 - 16 - 108}{12} = -\frac{121}{12}$$ **Resultado final:** $$I = F(2) - F(1) = -\frac{68}{3} - \left( -\frac{121}{12} \right) = -\frac{272}{12} + \frac{121}{12} = -\frac{151}{12}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar $F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado final apartado c):** $$\boxed{\int_{1}^{2} f(x) dx = -\frac{151}{12}}$$