Probabilidad de extracción de bolas sin reemplazamiento

**a.- (2 puntos) La probabilidad de que las dos sean blancas.** Primero, definimos los sucesos para las extracciones: - $B_i$: Extraer bola Blanca en la extracción $i$. - $R_i$: Extraer bola Roja en la extracción $i$. - $N_i$: Extraer bola Negra en la extracción $i$. Como la extracción es **sin reemplazamiento**, el número total de bolas disminuye en la segunda extracción y la composición de colores cambia según lo que hayamos sacado primero. Composición inicial (8 bolas): $3B, 1R, 4N$. Representamos la situación mediante un diagrama de árbol: Para calcular que las dos sean blancas, seguimos la rama superior del árbol: $$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2 | B_1) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7}$$ $$P(B_1 \cap B_2) = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$$ 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazamiento, recuerda restar 1 tanto al numerador como al denominador si la segunda bola es del mismo color que la primera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{dos blancas}) = \frac{3}{28} \approx 0.1071}$$

**b.- (3 puntos) La probabilidad de que al menos una sea blanca.** El suceso "al menos una blanca" es el suceso contrario a "ninguna es blanca". Es mucho más rápido calcularlo así. Sean las bolas no blancas (Rojas o Negras). Hay un total de $1 + 4 = 5$ bolas que no son blancas. Calculamos la probabilidad de no extraer ninguna blanca ($\bar{B}_1 \cap \bar{B}_2$): $$P(\text{ninguna blanca}) = P(\bar{B}_1) \cdot P(\bar{B}_2 | \bar{B}_1)$$ Como hay 5 bolas no blancas de un total de 8: $$P(\text{ninguna blanca}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$ Ahora, aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(\text{al menos una blanca}) = 1 - P(\text{ninguna blanca})$$ $$P(\text{al menos una blanca}) = 1 - \frac{5}{14} = \frac{14-5}{14} = \frac{9}{14}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el enunciado diga "al menos uno", plantéate si es más sencillo resolverlo mediante el suceso contrario: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos una blanca}) = \frac{9}{14} \approx 0.6429}$$

**c.- (2 puntos) La probabilidad de que las dos sean del mismo color.** Para que las dos sean del mismo color, existen tres casos mutuamente excluyentes: 1. Que las dos sean Blancas ($B_1 \cap B_2$) 2. Que las dos sean Rojas ($R_1 \cap R_2$) 3. Que las dos sean Negras ($N_1 \cap N_2$) Calculamos cada una: - $P(B_1 \cap B_2) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}$ - $P(R_1 \cap R_2) = \frac{1}{8} \cdot \frac{0}{7} = 0$ (Solo hay una roja, no pueden salir dos) - $P(N_1 \cap N_2) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{56}$ Sumamos las probabilidades: $$P(\text{mismo color}) = P(B_1 \cap B_2) + P(R_1 \cap R_2) + P(N_1 \cap N_2)$$ $$P(\text{mismo color}) = \frac{6}{56} + 0 + \frac{12}{56} = \frac{18}{56}$$ Simplificamos la fracción: $$P(\text{mismo color}) = \frac{9}{28}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{mismo color}) = \frac{9}{28} \approx 0.3214}$$

**d.- (3 puntos) Si las dos bolas son del mismo color, la probabilidad de que sean blancas.** Estamos ante una probabilidad condicionada. Se nos pide la probabilidad de que sean blancas sabiendo que son del mismo color. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\text{Blancas} | \text{Mismo color}) = \frac{P(\text{Blancas} \cap \text{Mismo color})}{P(\text{Mismo color})}$$ Analizamos el numerador: Si las bolas son blancas, automáticamente son del mismo color, por lo tanto: $$P(\text{Blancas} \cap \text{Mismo color}) = P(B_1 \cap B_2) = \frac{6}{56}$$ Del apartado anterior sabemos que: $$P(\text{Mismo color}) = \frac{18}{56}$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(\text{Blancas} | \text{Mismo color}) = \frac{6/56}{18/56} = \frac{6}{18}$$ Simplificamos: $$P(\text{Blancas} | \text{Mismo color}) = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, el denominador suele ser el resultado de un apartado anterior. ¡Fíjate bien para ahorrar tiempo! ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Blancas} | \text{Mismo color}) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$