Estimación de proporciones e intervalos de confianza

**a.- (6 puntos) Si quiere que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0.1, ¿qué tamaño de la muestra debe escoger?** Primero, identificamos el nivel de confianza y calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. El nivel de confianza es del $94\%$, por lo tanto: $$1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06$$ $$\frac{\alpha}{2} = 0.03$$ Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: - Para $z = 1.88$, la probabilidad es $0.9699$. - Para $z = 1.89$, la probabilidad es $0.9706$. Tomamos el valor más aproximado (o la media si se prefiere mayor precisión), que es **$z_{\alpha/2} = 1.88$**. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ delimita el área central de la campana de Gauss que contiene el nivel de confianza deseado.

La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible ($E$). Si la amplitud no debe ser mayor que $0.1$: $$A = 2E \le 0.1 \implies E \le 0.05$$ La fórmula del error para una proporción es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$. Como no conocemos la proporción poblacional $\hat{p}$, nos ponemos en el **caso más desfavorable** (máxima varianza), que ocurre cuando $\hat{p} = 0.5$. Sustituimos los valores en la fórmula del tamaño muestral $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1-\hat{p})}{E^2}$$ $$n = \frac{1.88^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.05^2} = \frac{3.5344 \cdot 0.25}{0.0025} = \frac{0.8836}{0.0025} = 353.44$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y garantizar que el error sea menor o igual al pedido, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 354 \text{ hogares}}$$

**b.- (4 puntos) Decide tomar una muestra de 200 hogares y, de ellos, 112 tienen Internet de alta velocidad. Calcular el intervalo de confianza al 94% para la proporción de hogares de la ciudad que tienen Internet de alta velocidad.** Extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Éxitos (tienen Internet): $x = 112$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{112}{200} = 0.56$$ Por tanto, la proporción complementaria es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.56 = 0.44$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$.

Utilizamos el valor crítico calculado anteriormente ($z_{\alpha/2} = 1.88$) para hallar el error de la estimación: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.56 \cdot 0.44}{200}}$$ $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.2464}{200}} = 1.88 \cdot \sqrt{0.001232} \approx 1.88 \cdot 0.0351 = 0.065988$$ El intervalo de confianza se construye como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.56 - 0.066, 0.56 + 0.066) = (0.494, 0.626)$$ Interpretación: Tenemos una confianza del $94\%$ de que la proporción real de hogares con Internet de alta velocidad se encuentra entre el $49.4\%$ y el $62.6\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{0.94} = (0.494, 0.626)}$$