Operaciones con matrices, ecuaciones matriciales e inversa

**a.- (3 puntos) ¿Es posible calcular $(BA)^2$? Si es así, calcularla; si no se puede, razonar por qué.** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Analizamos las dimensiones: - La matriz $B$ tiene dimensión $3 \times 2$ (3 filas y 2 columnas). - La matriz $A$ tiene dimensión $2 \times 3$ (2 filas y 3 columnas). Como el número de columnas de $B$ (2) es igual al número de filas de $A$ (2), el producto **$BA$ es posible** y el resultado será una matriz de dimensión $3 \times 3$. Posteriormente, como $BA$ es una matriz cuadrada ($3 \times 3$), siempre es posible elevarla al cuadrado multiplicándola por sí misma. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar $M_{m \times n} \cdot N_{n \times p}$, el valor central $n$ debe ser idéntico, y el resultado tiene dimensiones $m \times p$.

Calculamos primero la matriz producto $BA$ multiplicando filas de $B$ por columnas de $A$: $$BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} 2(2) + 0(-1) & 2(3) + 0(0) & 2(2) + 0(-1) \\ -1(2) + (-2)(-1) & -1(3) + (-2)(0) & -1(2) + (-2)(-1) \\ -1(2) + (-1)(-1) & -1(3) + (-1)(0) & -1(2) + (-1)(-1) \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} 4 + 0 & 6 + 0 & 4 + 0 \\ -2 + 2 & -3 + 0 & -2 + 2 \\ -2 + 1 & -3 + 0 & -2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4 \\ 0 & -3 & 0 \\ -1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $(BA)^2 = (BA) \cdot (BA)$: $$(BA)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4 \\ 0 & -3 & 0 \\ -1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4 \\ 0 & -3 & 0 \\ -1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$$ $$(BA)^2 = \begin{pmatrix} 16+0-4 & 24-18-12 & 16+0-4 \\ 0+0+0 & 0+9+0 & 0+0+0 \\ -4+0+1 & -6+9+3 & -4+0+1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{(BA)^2 = \begin{pmatrix} 12 & -6 & 12 \\ 0 & 9 & 0 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix}}$$

**b.- (3 puntos) Encontrar, si existe, una matriz $X$, que verifique $2X + 3B = 2C$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$2X + 3B = 2C$$ $$2X = 2C - 3B$$ $$X = \frac{1}{2}(2C - 3B) = C - \frac{3}{2}B$$ Para que la operación sea posible, $B$ y $C$ deben tener las mismas dimensiones. En este caso, ambas son $3 \times 2$, por lo que la resta es posible. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales de suma y resta, solo necesitas que las dimensiones coincidan elemento a elemento.

Calculamos $2C - 3B$: $$2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$ $$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ -3 & -6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$$ $$2X = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ -3 & -6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 7 & 8 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$$ Dividimos todos los elementos entre $2$ para obtener $X$: ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 7/2 & 4 \\ 5/2 & 9/2 \end{pmatrix}}$$

**c.- (4 puntos) Calcular, si existe, la matriz inversa de $D$.** Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|D| \neq 0$). Calculamos $|D|$ mediante la regla de Sarrus: $$|D| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|D| = (2 \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 3) + (-1 \cdot 1 \cdot (-1)) - [(-1 \cdot 1 \cdot 3) + (0 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot (-1) \cdot 0)]$$ $$|D| = (0 + 0 + 1) - (-3 + 0 + 0) = 1 + 3 = 4$$ Como $|D| = 4 \neq 0$, **la matriz $D$ es invertible**. 💡 **Tip:** Si una columna tiene muchos ceros, puedes desarrollar por esa columna para simplificar. En la columna 3: $(-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1(-1 - 3) = 4$.

Utilizamos la fórmula: $D^{-1} = \frac{1}{|D|} (Adj(D))^T$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $D$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-3) = 3$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ La matriz adjunta es: $$Adj(D) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \implies (Adj(D))^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Dividimos por $|D| = 4$: ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{D^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & 3/4 & -1/4 \\ -1 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}}$$