Programación Lineal: Maximización de beneficios en taller de costura

En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que son las cantidades de cada tipo de vestido que la modista debe confeccionar. Sean: - $x$: número de vestidos de fiesta. - $y$: número de vestidos de calle. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, gana 100 € por cada vestido de fiesta y 65 € por cada vestido de calle. Por tanto, la **función objetivo** será: $$B(x, y) = 100x + 65y$$ 💡 **Tip:** Las variables deben representar siempre cantidades positivas o cero, por lo que implícitamente tenemos $x \ge 0$ e $y \ge 0$.

Traducimos las limitaciones dadas en el enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Restricción de tela:** Cada vestido de fiesta gasta 3m y cada uno de calle 1m. El máximo disponible es 36m. $$3x + y \le 36$$ 2. **Restricción de tiempo:** Cada vestido de fiesta requiere 6h y cada uno de calle 4h. El máximo disponible son 120h. $$6x + 4y \le 120$$ *(Podemos simplificar dividiendo entre 2: $3x + 2y \le 60$)*. 3. **Restricción de preferencia:** No quiere hacer más vestidos de fiesta que de calle. $$x \le y \implies x - y \le 0$$ 4. **No negatividad:** $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} 3x + y \le 36 \\ 3x + 2y \le 60 \\ x \le y \\ x \ge 0, \, y \ge 0 \end{cases}$$

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas correspondientes a las restricciones y determinamos el semiplano solución para cada una: - $r_1: 3x + y = 36$ pasa por $(0, 36)$ y $(12, 0)$. - $r_2: 3x + 2y = 60$ pasa por $(0, 30)$ y $(20, 0)$. - $r_3: x = y$ pasa por $(0, 0)$ y $(10, 10)$. La intersección de estos semiplanos forma un polígono cerrado.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $y=x$. $$x=0, y=0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x=0$ y $3x + 2y = 60$. $$2y = 60 \implies y = 30 \implies \mathbf{B(0, 30)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $3x + y = 36$ y $3x + 2y = 60$. Restando las ecuaciones: $(3x + 2y) - (3x + y) = 60 - 36 \implies y = 24$. Sustituyendo $y=24$ en $3x + 24 = 36 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. Por tanto, \mathbf{C(4, 24)}. - **Vértice D:** Intersección de $3x + y = 36$ y $x = y$. $3x + x = 36 \implies 4x = 36 \implies x = 9, y = 9 \implies \mathbf{D(9, 9)}$. 💡 **Tip:** Siempre verifica que los vértices hallados cumplen todas las restricciones originales del sistema.

Evaluamos la función de beneficio $B(x, y) = 100x + 65y$ en cada uno de los vértices calculados: - $B(0, 0) = 100(0) + 65(0) = 0$ € - $B(0, 30) = 100(0) + 65(30) = 1.950$ € - $B(4, 24) = 100(4) + 65(24) = 400 + 1.560 = 1.960$ € - $B(9, 9) = 100(9) + 65(9) = 900 + 585 = 1.485$ € El valor máximo se alcanza en el punto $(4, 24)$ con un beneficio de $1.960$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe hacer 4 vestidos de fiesta y 24 de calle para un beneficio de 1.960 €}}$$