Derivadas, Límites e Integrales Definidas

**a.- (3 puntos) Calcular la derivada de: $f(x) = e^{3x^2 - 5x}$** Para resolver este apartado, utilizaremos la **regla de la cadena** para funciones exponenciales de base $e$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f(x) = e^{u(x)}$, su derivada es $f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$. Identificamos el exponente: $$u(x) = 3x^2 - 5x$$ Calculamos su derivada: $$u'(x) = 6x - 5$$ Ahora, aplicamos la fórmula de la derivada: $$f'(x) = (6x - 5) \cdot e^{3x^2 - 5x}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = (6x - 5)e^{3x^2 - 5x}}$$

**b.- (3 puntos) Calcular: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 2}{\sqrt{16x^2 + 5}}$** Al evaluar el límite, observamos que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, produciendo una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Para resolverla, dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de $x$ presente en el denominador. En este caso, la potencia dominante es $\sqrt{x^2} = x$ (ya que $x \to +\infty$). $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 2}{\sqrt{16x^2 + 5}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{16x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2}}}$$ Simplificamos los términos: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{16 + \frac{5}{x^2}}}$$ Sabemos que cuando $x \to +\infty$, los términos $\frac{2}{x}$ y $\frac{5}{x^2}$ tienden a **0**: $$\frac{3 + 0}{\sqrt{16 + 0}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 2}{\sqrt{16x^2 + 5}} = \frac{3}{4}}$$

**c.- (4 puntos) Calcular: $\int_{0}^{2} \left( 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{4x + 1}} \right) dx$** Primero, calcularemos la integral indefinida (la primitiva) de la función. Podemos separar la integral en dos partes gracias a la propiedad de linealidad: $$I = \int 3x^2 \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{4x + 1}} \, dx$$ 1. La primera parte es inmediata: $$\int 3x^2 \, dx = x^3$$ 2. La segunda parte es una integral de tipo cuasi-inmediata. Podemos escribirla como una potencia: $$\int (4x + 1)^{-1/2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int u' u^n \, dx = \frac{u^{n+1}}{n+1}$. Aquí $u = 4x + 1$, por lo que $u' = 4$. Necesitamos un $4$ multiplicando en el numerador: $$\frac{1}{4} \int 4(4x + 1)^{-1/2} \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x + 1)^{1/2}}{1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{4x + 1}$$ La primitiva general $F(x)$ es: $$F(x) = x^3 - \frac{1}{2}\sqrt{4x + 1}$$

Para hallar el valor de la integral definida entre $0$ y $2$, aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{0}^{2} \left( 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{4x + 1}} \right) dx = \left[ x^3 - \frac{1}{2}\sqrt{4x + 1} \right]_{0}^{2}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = 2^3 - \frac{1}{2}\sqrt{4(2) + 1} = 8 - \frac{1}{2}\sqrt{9} = 8 - \frac{3}{2} = \frac{16 - 3}{2} = \frac{13}{2}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = 0^3 - \frac{1}{2}\sqrt{4(0) + 1} = 0 - \frac{1}{2}\sqrt{1} = -\frac{1}{2}$$ Restamos ambos valores: $$F(2) - F(0) = \frac{13}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{13}{2} + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{0}^{2} \left( 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{4x + 1}} \right) dx = 7}$$