Optimización del coste de producción

**a.- (1 punto) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario?** Primero, debemos identificar el valor de la variable $x$. Como el enunciado indica que $x$ representa el tamaño de la producción en **miles de unidades**, si tenemos 5000 unidades, entonces: $$x = \frac{5000}{1000} = 5$$ Ahora, sustituimos $x = 5$ en la función de coste unitario $C(x)$: $$C(5) = \frac{1}{10}(5^2 - 16 \cdot 5 + 100)$$ $$C(5) = \frac{1}{10}(25 - 80 + 100)$$ $$C(5) = \frac{1}{10}(45) = 4,5$$ 💡 **Tip:** Es fundamental fijarse en las unidades de medida de las variables. Aquí $x$ está en miles, por lo que no debemos sustituir por 5000. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El coste unitario para 5000 unidades es de 4,5 euros.}}$$

**b.- (4 puntos) ¿Para qué valores del tamaño de la producción $x \in [2, 15]$ el coste unitario es inferior a 4 euros?** Se nos pide encontrar los valores de $x$ tales que $C(x) \lt 4$. Planteamos la inecuación: $$\frac{1}{10}(x^2 - 16x + 100) \lt 4$$ Para resolverla, multiplicamos ambos miembros por 10 para eliminar la fracción: $$x^2 - 16x + 100 \lt 40$$ Llevamos todos los términos a un lado de la desigualdad para obtener una expresión cuadrática respecto a cero: $$x^2 - 16x + 60 \lt 0$$

Para resolver $x^2 - 16x + 60 \lt 0$, primero hallamos las raíces de la ecuación $x^2 - 16x + 60 = 0$ usando la fórmula general: $$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2}$$ Las raíces son: $$x_1 = \frac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{12}{2} = 6$$ Como la parábola $y = x^2 - 16x + 60$ tiene el coeficiente de $x^2$ positivo (abre hacia arriba), los valores negativos se encuentran **entre las dos raíces**. Por tanto, $x^2 - 16x + 60 \lt 0$ cuando $x \in (6, 10)$. Como este intervalo está contenido dentro del dominio dado $[2, 15]$, la solución es válida. 💡 **Tip:** En una inecuación de segundo grado $ax^2+bx+c \lt 0$, si $a \gt 0$, la solución es el intervalo abierto entre las raíces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El coste es inferior a 4 euros para producciones entre 6 y 10 mil unidades: } x \in (6, 10)}$$

**c.- (5 puntos) ¿Para qué tamaño de la producción $x \in [2, 15]$ se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes?** Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[2, 15]$, debemos calcular la derivada de $C(x)$, igualarla a cero para encontrar los puntos críticos y luego comparar sus valores con los de los extremos del intervalo. Calculamos la derivada de $C(x) = \frac{1}{10}(x^2 - 16x + 100)$: $$C'(x) = \frac{1}{10}(2x - 16)$$ Igualamos a cero: $$\frac{1}{10}(2x - 16) = 0 \implies 2x - 16 = 0 \implies 2x = 16 \implies x = 8$$ Como $x = 8$ está dentro del intervalo $[2, 15]$, es un candidato a extremo.

Analizamos el signo de $C'(x)$ para determinar el crecimiento y decrecimiento: $$ \begin{array}{c|ccc} x & [2, 8) & 8 & (8, 15] \\ \hline C'(x) & - & 0 & + \\ \hline C(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array} $$ - En el intervalo $[2, 8)$, $C'(x) \lt 0$ (la función decrece). - En el intervalo $(8, 15]$, $C'(x) \gt 0$ (la función crece). Esto confirma que en **$x = 8$ hay un mínimo relativo**.

Calculamos el valor de la función en el punto crítico y en los extremos del dominio para hallar el máximo y el mínimo absoluto: 1. En el extremo izquierdo ($x = 2$): $$C(2) = \frac{1}{10}(2^2 - 16 \cdot 2 + 100) = \frac{1}{10}(4 - 32 + 100) = \frac{72}{10} = 7,2 \text{ €}$$ 2. En el punto crítico ($x = 8$): $$C(8) = \frac{1}{10}(8^2 - 16 \cdot 8 + 100) = \frac{1}{10}(64 - 128 + 100) = \frac{36}{10} = 3,6 \text{ €}$$ 3. En el extremo derecho ($x = 15$): $$C(15) = \frac{1}{10}(15^2 - 16 \cdot 15 + 100) = \frac{1}{10}(225 - 240 + 100) = \frac{85}{10} = 8,5 \text{ €}$$ Comparando los valores: - El valor mínimo es **3,6 €** en $x = 8$. - El valor máximo es **8,5 €** en $x = 15$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Mínimo: } & x = 8 \text{ (8000 unidades), Coste } = 3,6 \text{ €} \\ \text{Máximo: } & x = 15 \text{ (15000 unidades), Coste } = 8,5 \text{ €} \end{aligned}}$$