Probabilidad: Encuesta de viaje de estudios

Para resolver este tipo de ejercicios, lo primero es organizar la información y definir los sucesos. Sean los sucesos: - $A, B, C$: El estudiante pertenece a la clase A, B o C respectivamente. - $L$: El estudiante vota por Londres. - $P$: El estudiante vota por París. Calculamos las probabilidades de pertenecer a cada clase sobre el total de alumnos ($28 + 25 + 23 = 76$): - $P(A) = \dfrac{28}{76}$ - $P(B) = \dfrac{25}{76}$ - $P(C) = \dfrac{23}{76}$ Las probabilidades condicionadas según el enunciado son: - $P(L|A) = \dfrac{12}{28}, \quad P(P|A) = \dfrac{16}{28}$ - $P(L|B) = \dfrac{10}{25}, \quad P(P|B) = \dfrac{15}{25}$ - $P(L|C) = \dfrac{18}{23}, \quad P(P|C) = \dfrac{5}{23}$ Podemos representar esta información en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En problemas con varios grupos y opciones dentro de ellos, el diagrama de árbol o una tabla de contingencia son las mejores herramientas para visualizar los datos.

**a.- (2 puntos) Si elegimos al azar un estudiante del curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por Londres?** Para calcular la probabilidad de que un estudiante cualquiera haya votado por Londres, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(L) = P(A) \cdot P(L|A) + P(B) \cdot P(L|B) + P(C) \cdot P(L|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(L) = \frac{28}{76} \cdot \frac{12}{28} + \frac{25}{76} \cdot \frac{10}{25} + \frac{23}{76} \cdot \frac{18}{23}$$ Simplificamos las fracciones antes de sumar: $$P(L) = \frac{12}{76} + \frac{10}{76} + \frac{18}{76} = \frac{12 + 10 + 18}{76} = \frac{40}{76}$$ Simplificando la fracción final dividiendo entre 4: $$P(L) = \frac{10}{19} \approx 0.5263$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L) = \frac{10}{19} \approx 0.526}$$

**b.- (2 puntos) Si elegimos al azar un estudiante de entre los que han votado por Londres, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la clase B?** Se nos pide una probabilidad a posteriori, es decir, ya sabemos que el estudiante votó por Londres (suceso condicionado). Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|L) = \frac{P(B \cap L)}{P(L)} = \frac{P(B) \cdot P(L|B)}{P(L)}$$ Ya conocemos $P(L) = \frac{40}{76}$ del apartado anterior y $P(B \cap L) = \frac{25}{76} \cdot \frac{10}{25} = \frac{10}{76}$. $$P(B|L) = \frac{10/76}{40/76} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(B|L)$ responde a la pregunta: 'De todos los que van a Londres, ¿qué fracción son de la clase B?' ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|L) = 0.25}$$

**c.- (3 puntos) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) dos estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hayan votado por Londres?** Sabemos por el apartado (a) que el número total de estudiantes es $76$ y el número total de estudiantes que han votado por Londres es $40$. Al extraer sin reemplazamiento, la probabilidad del segundo estudiante depende de lo que haya salido en el primero: - Estudiante 1 sea de Londres: $P(L_1) = \dfrac{40}{76}$ - Estudiante 2 sea de Londres (sabiendo que el primero lo fue): $P(L_2 | L_1) = \dfrac{39}{75}$ La probabilidad de que ambos sean de Londres es: $$P(L_1 \cap L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2 | L_1) = \frac{40}{76} \cdot \frac{39}{75}$$ Operamos: $$P(L_1 \cap L_2) = \frac{10}{19} \cdot \frac{13}{25} = \frac{130}{475}$$ Simplificamos dividiendo entre 5: $$P(L_1 \cap L_2) = \frac{26}{95} \approx 0.2737$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L_1 \cap L_2) = \frac{26}{95} \approx 0.274}$$

**d.- (3 puntos) Si elegimos al azar (sin reemplazamiento) tres estudiantes del curso, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de cada clase?** Queremos elegir un estudiante de A, uno de B y uno de C. Como el orden en que los extraemos no importa (pero influye en el cálculo si lo hacemos paso a paso), podemos usar combinatoria o la regla multiplicativa considerando todas las permutaciones posibles. **Método 1: Combinatoria** Casos posibles: Elegir 3 alumnos cualesquiera de los 76 totales. $$\binom{76}{3} = \frac{76 \cdot 75 \cdot 74}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 70300$$ Casos favorables: Elegir 1 de los 28 de la clase A, 1 de los 25 de la clase B y 1 de los 23 de la clase C. $$\binom{28}{1} \cdot \binom{25}{1} \cdot \binom{23}{1} = 28 \cdot 25 \cdot 23 = 16100$$ La probabilidad es: $$P = \frac{16100}{70300} = \frac{161}{703} \approx 0.2290$$ **Método 2: Regla multiplicativa** Calculamos la probabilidad de un orden concreto (ej. ABC) y multiplicamos por las permutaciones de los 3 elementos ($3! = 6$): $$P = 6 \cdot \left( \frac{28}{76} \cdot \frac{25}{75} \cdot \frac{23}{74} \right) = 6 \cdot \frac{16100}{421800} = \frac{96600}{421800} = \frac{161}{703}$$ 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazamiento donde el orden no importa, el uso de combinaciones $\binom{n}{k}$ suele evitar errores al olvidar permutaciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{161}{703} \approx 0.229}$$