Inferencia estadística: Altura de estudiantes

**a.- (5 puntos) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 97% tenga una amplitud menor o igual que 4 cm.** Primero identificamos los datos del problema: - La variable sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 10$. - El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0,97$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,97$, entonces $\alpha = 0,03$ y $\alpha/2 = 0,015$. 2. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$$ Mirando en la tabla proporcionada, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,9850$ es: $$z_{\alpha/2} = 2,17$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto que deja a su derecha un área de $\alpha/2$ en la campana de Gauss.

La amplitud de un intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible ($A = 2E$). Se nos pide que $A \le 4$ cm, por lo que el error $E$ debe ser: $$E \le \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores conocidos: $$2,17 \cdot \frac{10}{\sqrt{n}} \le 2$$ Despejamos $n$: $$\frac{21,7}{\sqrt{n}} \le 2 \implies \frac{21,7}{2} \le \sqrt{n} \implies 10,85 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados: $$n \ge (10,85)^2 \implies n \ge 117,7225$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 118 \text{ estudiantes}}$$

**b.- (4 puntos) Decidimos tomar una muestra de tamaño 9. Medimos a los estudiantes y tenemos los siguientes resultados en cm: 175, 187, 183, 162, 161, 164, 180, 171, 158. Calcular un intervalo de confianza al 97% para la media de la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU.** Primero calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{175 + 187 + 183 + 162 + 161 + 164 + 180 + 171 + 158}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{1541}{9} \approx 171,22 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Para el intervalo de confianza de la media, cuando conocemos la desviación típica de la población ($\sigma$), usamos la fórmula $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$.

Calculamos el error para $n = 9$, $\sigma = 10$ y $z_{\alpha/2} = 2,17$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,17 \cdot \frac{10}{\sqrt{9}} = 2,17 \cdot \frac{10}{3} = 2,17 \cdot 3,333... \approx 7,23 \text{ cm}$$ El intervalo de confianza es: $$IC = (171,22 - 7,23 \, , \, 171,22 + 7,23)$$ $$IC = (163,99 \, , \, 178,45)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (163,99 \, , \, 178,45) \text{ cm}}$$

**c.- (1 punto) Calcular la varianza de la muestra del apartado b.** La varianza de la muestra ($s^2$) se calcula con la fórmula: $$s^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$$ Calculamos la suma de los cuadrados de los datos: $$\sum x_i^2 = 175^2 + 187^2 + 183^2 + 162^2 + 161^2 + 164^2 + 180^2 + 171^2 + 158^2$$ $$\sum x_i^2 = 30625 + 34969 + 33489 + 26244 + 25921 + 26896 + 32400 + 29241 + 24964 = 264749$$ Calculamos la varianza: $$s^2 = \frac{264749}{9} - (171,222...)^2 = 29416,56 - 29317,04 = 99,52$$ 💡 **Tip:** La varianza mide la dispersión de los datos respecto a su media. Si te pidieran la desviación típica muestral, sería la raíz cuadrada de este valor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s^2 = 99,52 \text{ cm}^2}$$