Álgebra 2020 Cantabria
Optimización de la producción de bebidas (Programación Lineal)
Ejercicio 1 [2,5 PUNTOS]
Una empresa del sector alimentario lanza al mercado dos nuevas bebidas, A y B, compuestas de zumos de frutas combinados. La composición de cada litro de bebida es la siguiente:
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
& \text{Zumo de piña} & \text{Zumo de mango} & \text{Zumo de papaya} \\
\hline
\text{A} & 0,5 \text{ litros} & 0,5 \text{ litros} & \\
\hline
\text{B} & 0,4 \text{ litros} & & 0,6 \text{ litros} \\
\hline
\end{array}$$
El precio de venta fijado es de 1,5 euros por litro de A y de 1,75 euros por litro de B.
Semanalmente se cuenta con 20 000 litros de zumo de piña, con 15 000 de zumo de mango y con 15 000 de zumo de papaya.
Determinar los litros que deben producirse semanalmente de cada bebida para obtener unos ingresos semanales máximos. ¿A cuánto ascienden dichos ingresos?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**Determinar los litros que deben producirse semanalmente de cada bebida para obtener unos ingresos semanales máximos. ¿A cuánto ascienden dichos ingresos?**
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: litros de la bebida **A** producidos semanalmente.
- $y$: litros de la bebida **B** producidos semanalmente.
El objetivo es maximizar los ingresos totales, que dependen del precio de venta de cada bebida. La función objetivo será:
$$I(x, y) = 1,5x + 1,75y$$
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué te piden calcular (las incógnitas) y qué quieres optimizar (la función objetivo).
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A partir de la disponibilidad de zumos (piña, mango y papaya), establecemos las restricciones del sistema:
1. **Zumo de piña:** La bebida A usa 0,5 L y la B usa 0,4 L. El máximo es 20 000 L.
$$0,5x + 0,4y \le 20000$$
2. **Zumo de mango:** Solo la bebida A usa 0,5 L. El máximo es 15 000 L.
$$0,5x \le 15000 \implies x \le 30000$$
3. **Zumo de papaya:** Solo la bebida B usa 0,6 L. El máximo es 15 000 L.
$$0,6y \le 15000 \implies y \le 25000$$
4. **No negatividad:** No se pueden producir cantidades negativas.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
El sistema de inecuaciones que define la región factible es:
$$\begin{cases} 0,5x + 0,4y \le 20000 \\ x \le 30000 \\ y \le 25000 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$
💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla ayuda a no olvidar ninguna restricción. Asegúrate de que todas las unidades sean coherentes (litros con litros).
Paso 3
Cálculo de los vértices de la región factible
Para hallar los vértices, calculamos los puntos de corte de las rectas que limitan la región:
- **Punto A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0$. **$A(0, 0)$**.
- **Punto B:** Intersección de $x=0$ con $y=25000$. **$B(0, 25000)$**.
- **Punto C:** Intersección de $y=25000$ con la recta de piña $0,5x + 0,4y = 20000$:
$$0,5x + 0,4(25000) = 20000 \implies 0,5x + 10000 = 20000 \implies 0,5x = 10000 \implies x = 20000$$
**$C(20000, 25000)$**.
- **Punto D:** Intersección de $x=30000$ con la recta de piña $0,5x + 0,4y = 20000$:
$$0,5(30000) + 0,4y = 20000 \implies 15000 + 0,4y = 20000 \implies 0,4y = 5000 \implies y = 12500$$
**$D(30000, 12500)$**.
- **Punto E:** Intersección de $x=30000$ e $y=0$. **$E(30000, 0)$**.
💡 **Tip:** Comprueba siempre que los puntos obtenidos cumplen todas las demás restricciones para asegurar que pertenecen a la región factible.
Paso 4
Evaluación de la función objetivo y optimización
Evaluamos la función de ingresos $I(x, y) = 1,5x + 1,75y$ en cada uno de los vértices hallados:
- $I(0, 0) = 1,5(0) + 1,75(0) = 0$ €
- $I(0, 25000) = 1,5(0) + 1,75(25000) = 43750$ €
- $I(20000, 25000) = 1,5(20000) + 1,75(25000) = 30000 + 43750 = 73750$ €
- $I(30000, 12500) = 1,5(30000) + 1,75(12500) = 45000 + 21875 = 66875$ €
- $I(30000, 0) = 1,5(30000) + 1,75(0) = 45000$ €
El valor máximo se alcanza en el punto $C(20000, 25000)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Deben producirse 20 000 L de la bebida A y 25 000 L de la bebida B.}}$$
$$\boxed{\text{Los ingresos máximos ascienden a 73 750 euros.}}$$