Sistema de ecuaciones: Venta de televisores

**A. [0,9 PUNTO] Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular cuántas unidades se han vendido de cada modelo de televisor.** En primer lugar, definimos las variables que representan lo que nos pide el problema: - $x$: número de televisores vendidos del modelo A. - $y$: número de televisores vendidos del modelo B. - $z$: número de televisores vendidos del modelo C. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. **Total de televisores vendidos:** Se han vendido 750 unidades en total. $$x + y + z = 750$$ 2. **Relación entre unidades:** De A y C se han vendido el doble que de B. $$x + z = 2y \implies x - 2y + z = 0$$ 3. **Ingresos totales:** Necesitamos calcular los precios de B y C basándonos en A ($320$ €). - Precio B (20 % más barato que A): $320 \cdot (1 - 0,20) = 320 \cdot 0,8 = 256$ €. - Precio C (10 % más caro que A): $320 \cdot (1 + 0,10) = 320 \cdot 1,1 = 352$ €. La ecuación de ingresos es: $$320x + 256y + 352z = 230400$$ 💡 **Tip:** Para simplificar los cálculos, podemos dividir la tercera ecuación por 32: $10x + 8y + 11z = 7200$. ✅ **El sistema planteado es:** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 750 \\ x - 2y + z = 0 \\ 320x + 256y + 352z = 230400 \end{cases}}$$

**B. [0,8 PUNTO] Analizar la compatibilidad de dicho sistema.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 320 & 256 & 352 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 750 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 320 & 256 & 352 & 230400 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 320 & 256 & 352 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-2) \cdot 352 + 1 \cdot 256 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 320] - [1 \cdot (-2) \cdot 320 + 1 \cdot 256 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 352]$$ $$|A| = [-704 + 256 + 320] - [-640 + 256 + 352]$$ $$|A| = [-128] - [-32] = -128 + 32 = -96$$ Como **$|A| = -96 \neq 0$**, el rango de la matriz $A$ es 3 ($rg(A)=3$). Dado que el número de incógnitas es 3, y la matriz ampliada $A^*$ no puede tener un rango superior a su dimensión (3x4), deducimos que $rg(A) = rg(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$. 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, si los rangos son iguales y coinciden con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (Solución única)}}$$

**C. [0,8 PUNTOS] Resolverlo.** Podemos resolverlo por el método de reducción/sustitución aprovechando la estructura de las ecuaciones: 1. De las ecuaciones (1) y (2): - (1) $x + z = 750 - y$ - (2) $x + z = 2y$ Igualando ambas expresiones: $$750 - y = 2y \implies 750 = 3y \implies y = \frac{750}{3} = 250$$ 2. Sustituimos $y = 250$ en las otras ecuaciones: - $x + z = 2(250) = 500 \implies x = 500 - z$ - $320x + 256(250) + 352z = 230400$ Operamos en la ecuación de ingresos: $$320x + 64000 + 352z = 230400$$ $$320x + 352z = 166400$$ Sustituimos $x = 500 - z$: $$320(500 - z) + 352z = 166400$$ $$160000 - 320z + 352z = 166400$$ $$32z = 166400 - 160000$$ $$32z = 6400 \implies z = \frac{6400}{32} = 200$$ 3. Calculamos $x$: $$x = 500 - 200 = 300$$ ✅ **La solución del sistema es:** $$\boxed{x = 300 \text{ (Modelo A)}, \quad y = 250 \text{ (Modelo B)}, \quad z = 200 \text{ (Modelo C)}}$$