Estudio de monotonía y extremos relativos de una función racional

**A. [2,5 PUNTOS] Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 2}$ obtener sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Antes de derivar para estudiar la monotonía, debemos determinar el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ Este punto $x = 2$ es fundamental, ya que la función no existe allí y deberá tenerse en cuenta al dividir la recta real en intervalos. 💡 **Tip:** Siempre comienza analizando el dominio. Los puntos donde la función no está definida (como las asíntotas verticales) pueden separar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, necesitamos calcular $f'(x)$. Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Donde $u = x^2 + x - 2$ y $v = x - 2$. Sus derivadas son $u' = 2x + 1$ y $v' = 1$. $$f'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 2) - (x^2 + x - 2)(1)}{(x - 2)^2}$$ Operamos en el numerador: $$f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x + x - 2) - (x^2 + x - 2)}{(x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 3x - 2 - x^2 - x + 2}{(x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}$$ ✅ **Derivada simplificada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}}$$

Los puntos críticos donde la función puede cambiar de tendencia son aquellos donde $f'(x) = 0$ o donde $f'(x)$ no existe (ya identificado en el dominio). Igualamos la derivada a cero: $$\frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = 0 \implies x^2 - 4x = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado factorizando: $$x(x - 4) = 0 \implies \begin{cases} x = 0 \\ x = 4 \end{cases}$$ Los puntos que dividen nuestra recta real para el estudio del signo son $x = 0$, $x = 2$ (no dominio) y $x = 4$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad. Nota que el denominador $(x-2)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $x^2 - 4x$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación de intervalos:** - En $(-\infty, 0)$, elegimos $x=-1$: $f'(-1) = \frac{(-1)^2-4(-1)}{pos} = \frac{5}{pos} \gt 0$ (**Creciente**). - En $(0, 2)$, elegimos $x=1$: $f'(1) = \frac{1^2-4(1)}{pos} = \frac{-3}{pos} \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(2, 4)$, elegimos $x=3$: $f'(3) = \frac{3^2-4(3)}{pos} = \frac{-3}{pos} \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(4, +\infty)$, elegimos $x=5$: $f'(5) = \frac{5^2-4(5)}{pos} = \frac{5}{pos} \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Decrecimiento: } (0, 2) \cup (2, 4)}$$ 💡 **Tip:** Es un error común unir los intervalos de decrecimiento como $(0, 4)$. Se debe excluir el $2$ porque la función no es continua ni está definida en ese punto.

A partir del análisis anterior, identificamos dónde se producen los máximos y mínimos relativos: 1. En **$x = 0$**, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **Máximo Relativo**. 2. En **$x = 4$**, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **Mínimo Relativo**. Calculamos las ordenadas sustituyendo en la función original $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 2}$: - Para $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2 + 0 - 2}{0 - 2} = \frac{-2}{-2} = 1$. - Para $x = 4$: $f(4) = \frac{4^2 + 4 - 2}{4 - 2} = \frac{16 + 4 - 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en: } (0, 1)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo relativo en: } (4, 9)}$$