Estudio de discontinuidades y continuidad con parámetros

**A. 1. [0,25 PUNTOS] ¿En qué puntos es discontinua?** La función $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 5x + 6}$ es una función racional. Este tipo de funciones son continuas en todo su dominio, es decir, en todos los puntos excepto en aquellos que anulan el denominador. Para hallar los puntos de discontinuidad, igualamos el denominador a cero: $$x^2 + 5x + 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una fracción no existe si el denominador es cero. Los valores que anulan el denominador son los candidatos a ser puntos de discontinuidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es discontinua en } x = -2 \text{ y } x = -3}$$

**2. [0,5 PUNTOS] ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad?** Una discontinuidad es **evitable** en un punto $x=a$ si existe el límite de la función en ese punto y es un número real finito. Primero, simplificamos la expresión de $f(x)$ factorizando numerador y denominador: - Numerador: $2x + 4 = 2(x + 2)$ - Denominador: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ Entonces, para $x \neq -2$: $$f(x) = \frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{2}{x + 3}$$ Analizamos $x = -2$: $$\lim_{x \to -2} \frac{2x + 4}{x^2 + 5x + 6} = \lim_{x \to -2} \frac{2}{x + 3} = \frac{2}{-2 + 3} = 2$$ Como el límite es finito, la discontinuidad en $x = -2$ es **evitable**. Podemos evitarla definiendo $f(-2) = 2$. Analizamos $x = -3$: $$\lim_{x \to -3} \frac{2x + 4}{x^2 + 5x + 6} = \lim_{x \to -3} \frac{2}{x + 3} = \frac{2}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, la discontinuidad en $x = -3$ es de **salto infinito** (no evitable). 💡 **Tip:** Si al calcular el límite obtenemos $0/0$ y al simplificar nos queda un número real, la discontinuidad es evitable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se puede evitar la discontinuidad en } x = -2 \text{ definiendo } f(-2) = 2}$$

**3. [0,5 PUNTOS] Calcular los dos límites laterales en $x = -3$. Interpretar gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor.** Usamos la expresión simplificada $f(x) = \frac{2}{x + 3}$ para facilitar el cálculo: - **Límite por la izquierda ($x \to -3^-$):** Si $x$ se acerca a $-3$ por valores menores (ej. $-3,1$), el denominador $(x+3)$ es negativo y muy pequeño. $$\lim_{x \to -3^-} \frac{2}{x + 3} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$ - **Límite por la derecha ($x \to -3^+$):** Si $x$ se acerca a $-3$ por valores mayores (ej. $-2,9$), el denominador $(x+3)$ es positivo y muy pequeño. $$\lim_{x \to -3^+} \frac{2}{x + 3} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ **Interpretación gráfica:** Dado que los límites laterales son infinitos, existe una **asíntota vertical** en la recta $x = -3$. La función decrece sin cota por la izquierda de $-3$ y crece sin cota por su derecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty. \text{ Hay una asíntota vertical en } x = -3}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Dada la función $f(x)$ a trozos, determinar a y b para que sea continua en $x = -1$ y $x = 3$.** Para que la función sea continua en $x = -1$, se debe cumplir: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)$$ 1. Calculamos el límite por la izquierda y el valor de la función (rama 1): $$f(-1) = a(-1)^2 + 2(-1) - 1 = a - 2 - 1 = a - 3$$ $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = a - 3$$ 2. Calculamos el límite por la derecha (rama 2): $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$a - 3 = -4 \implies a = -4 + 3 \implies a = -1$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad en los puntos de cambio de rama requiere que los límites laterales coincidan. ✅ **Resultado para a:** $$\boxed{a = -1}$$

Para que la función sea continua en $x = 3$, se debe cumplir: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$$ 1. Calculamos el límite por la izquierda y el valor de la función (rama 2): $$f(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4$$ $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$$ 2. Calculamos el límite por la derecha (rama 3): $$\lim_{x \to 3^+} \frac{b + x}{3x - 2} = \frac{b + 3}{3(3) - 2} = \frac{b + 3}{9 - 2} = \frac{b + 3}{7}$$ Igualamos ambos resultados: $$4 = \frac{b + 3}{7}$$ $$4 \cdot 7 = b + 3 \implies 28 = b + 3 \implies b = 25$$ 💡 **Tip:** No olvides sustituir el valor de $x$ en la expresión correspondiente a cada lado del punto de estudio. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 25}$$