Estimación de la media: tamaño muestral e intervalo de confianza

**A. [1,25 PUNTOS] El precio de alquiler de viviendas en un determinado barrio de una gran ciudad sigue una distribución normal con desviación típica 265 euros. Queremos que el error cometido al estimar el precio medio de alquiler con un nivel de confianza del 97 % sea 20,7 euros. ¿Cuántas viviendas hemos de tomar aleatoriamente para calcular la estimación?** Primero, identificamos los datos proporcionados para el cálculo del tamaño muestral $n$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 265$ €. - Error máximo permitido: $E = 20,7$ €. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97 \implies 97\%$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $97\%$: 1. Calculamos $\alpha = 1 - 0,97 = 0,03$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0,015$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,015 = 0,9850.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,9850$ es $2,17$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$

La fórmula del error máximo para la estimación de la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para hallar el tamaño de la muestra $n$, despejamos de la fórmula anterior: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{2,17 \cdot 265}{20,7} \right)^2 = \left( \frac{575,05}{20,7} \right)^2 \approx (27,7802)^2 \approx 771,739$$ Como el número de viviendas debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $20,7$, debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea inferior a $,5$, en problemas de tamaño muestral se redondea siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error no supere el límite establecido. ✅ **Resultado (tamaño muestral):** $$\boxed{n = 772 \text{ viviendas}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] En el caso de una población de tamaño pequeño, el precio de alquiler sigue una distribución normal con desviación típica 134 euros. Una muestra aleatoria de 357 viviendas da como resultado un alquiler medio de 448 euros. Obtener el intervalo de confianza del 93 % para el precio medio de alquiler.** Extraemos los datos para este apartado: - Media muestral: $\bar{x} = 448$ €. - Tamaño de la muestra: $n = 357$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 134$ €. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,93 \implies 93\%$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $93\%$: 1. $\alpha = 1 - 0,93 = 0,07$. 2. $\alpha/2 = 0,035$. 3. Buscamos en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,035 = 0,9650$. En las tablas de la normal, observamos que para $0,9649$ el valor es $1,81$ y para $0,9656$ es $1,82$. Tomamos el más cercano o realizamos la media: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,81}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error cometido.

Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,81 \cdot \frac{134}{\sqrt{357}}$$ $$E = 1,81 \cdot \frac{134}{18,894} \approx 1,81 \cdot 7,0922 \approx 12,8369$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $\bar{x} - E = 448 - 12,8369 = 435,1631$ - Límite superior: $\bar{x} + E = 448 + 12,8369 = 460,8369$ Por tanto, el intervalo de confianza al $93\%$ es: $$I.C. = (435,16; 460,84)$$ ✅ **Resultado (intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (435,16; 460,84) \text{ euros}}$$