Probabilidad total y Teorema de Bayes en la producción de balones

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales para organizar la información: - $A$: El balón procede de la planta $A$. $P(A) = 0.45$. - $B$: El balón procede de la planta $B$. $P(B) = 0.21$. - $C$: El balón procede de la planta $C$. $P(C) = 0.34$. - $D$: El balón es defectuoso. - $\bar{D}$: El balón no es defectuoso. A partir de los porcentajes de defectos por planta, tenemos las probabilidades condicionadas: $P(D|A) = 0.01 \implies P(\bar{D}|A) = 0.99$ $P(D|B) = 0.03 \implies P(\bar{D}|B) = 0.97$ $P(D|C) = 0.02 \implies P(\bar{D}|C) = 0.98$ Representamos esta información en un árbol de probabilidades:

**A. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y haya pasado por la máquina de la planta A?** Nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que el balón sea de la planta $A$ **y** que no sea defectuoso ($\bar{D}$). Usamos la fórmula de la probabilidad de la intersección: $$P(\bar{D} \cap A) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(\bar{D} \cap A) = 0.45 \cdot 0.99 = 0.4455$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un diagrama de árbol, la probabilidad de la intersección de los sucesos de una rama se calcula multiplicando las probabilidades a lo largo de dicha rama. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D} \cap A) = 0.4455}$$ (o lo que es lo mismo, un $44.55 \%$)

**B. [1,25 PUNTOS] Si no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquina de la planta B?** Para resolver este apartado, primero necesitamos calcular la probabilidad total de que un balón no sea defectuoso, $P(\bar{D})$. Según el **Teorema de la Probabilidad Total**, esto es la suma de las probabilidades de ser no defectuoso en cada planta: $$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$ Calculamos cada término: - $P(A) \cdot P(\bar{D}|A) = 0.45 \cdot 0.99 = 0.4455$ - $P(B) \cdot P(\bar{D}|B) = 0.21 \cdot 0.97 = 0.2037$ - $P(C) \cdot P(\bar{D}|C) = 0.34 \cdot 0.98 = 0.3332$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{D}) = 0.4455 + 0.2037 + 0.3332 = 0.9824$$ 💡 **Tip:** La suma de $P(D)$ y $P(\bar{D})$ siempre debe ser $1$. Podrías haber calculado $P(D)$ y restar a $1$, pero calcular $P(\bar{D})$ directamente es más seguro.

Ahora que conocemos la probabilidad de que el balón no sea defectuoso, aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad de que proceda de la planta $B$ condicionado a que no es defectuoso: $$P(B|\bar{D}) = \frac{P(B \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{P(B) \cdot P(\bar{D}|B)}{P(\bar{D})}$$ Sustituimos los valores obtenidos en los pasos anteriores: $$P(B|\bar{D}) = \frac{0.2037}{0.9824} \approx 0.207349...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(B|\bar{D}) \approx 0.2073$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|\bar{D}) \approx 0.2073}$$ (o aproximadamente un $20.73 \%$)