Sistema de ecuaciones: Compra de material de oficina

**1. [0,9 PUNTOS] Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible.** Primero, definimos las incógnitas del problema según lo que nos piden calcular: - $x$: número de archivadores. - $y$: número de cuadernos. - $z$: número de carpetas. A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1) **Presupuesto:** El coste total debe ser 600 €. Si cada archivador vale 6 €, cada cuaderno 3 € y cada carpeta 2 €: $$6x + 3y + 2z = 600$$ 2) **Relación cuadernos-carpetas:** El número de cuadernos ($y$) es la cuarta parte que el de carpetas ($z$): $$y = \frac{z}{4} \implies 4y - z = 0$$ 3) **Total de archivadores y carpetas:** Su suma es 165: $$x + z = 165$$ 💡 **Tip:** Es muy importante definir claramente qué representa cada letra antes de escribir las ecuaciones para no intercambiar los datos. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} 6x + 3y + 2z = 600 \\ 4y - z = 0 \\ x + z = 165 \end{cases}}$$

**2. [0,8 PUNTOS] Analizar la compatibilidad de dicho sistema.** Para analizar la compatibilidad, utilizaremos el Teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 2 & 600 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 165 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (6 \cdot 4 \cdot 1) + (3 \cdot (-1) \cdot 1) + (2 \cdot 0 \cdot 0) - [ (2 \cdot 4 \cdot 1) + (3 \cdot 0 \cdot 1) + (6 \cdot (-1) \cdot 0) ]$$ $$|A| = 24 - 3 + 0 - (8 + 0 + 0) = 21 - 8 = 13$$ Como $|A| = 13 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es $3$. Dado que el número máximo de filas es 3, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también debe ser $3$. - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ - Número de incógnitas $= 3$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre tendrá una única solución. ✅ **Conclusión:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **única solución**.

**3. [0,8 PUNTOS] Resolverlo.** Podemos resolverlo por varios métodos, pero dada la estructura de las ecuaciones (la segunda y tercera son muy sencillas), el método de **sustitución** es muy eficiente. Del sistema: (1) $6x + 3y + 2z = 600$ (2) $4y - z = 0 \implies z = 4y$ (3) $x + z = 165 \implies x = 165 - z$ Sustituimos $z = 4y$ en la expresión de $x$: $$x = 165 - 4y$$ Ahora sustituimos ambas expresiones ($x$ y $z$) en la primera ecuación: $$6(165 - 4y) + 3y + 2(4y) = 600$$ $$990 - 24y + 3y + 8y = 600$$ $$990 - 13y = 600$$ $$-13y = 600 - 990$$ $$-13y = -390 \implies y = \frac{-390}{-13} = 30$$ Calculamos ahora el valor de las otras variables: - $z = 4y = 4(30) = 120$ - $x = 165 - 120 = 45$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar la solución en las ecuaciones originales. $6(45) + 3(30) + 2(120) = 270 + 90 + 240 = 600$. ¡Correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 45 \text{ archivadores}, \quad y = 30 \text{ cuadernos}, \quad z = 120 \text{ carpetas}}$$