Inversión en acciones: Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que el inversor debe decidir: - $x$: número de acciones de tipo A. - $y$: número de acciones de tipo B. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada acción A es de $0,2$ € y por cada acción B es de $0,08$ €. Por tanto, la función objetivo a maximizar es: $$B(x, y) = 0,2x + 0,08y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente las variables y la función objetivo es el primer paso fundamental en cualquier problema de programación lineal.

Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas (inecuaciones): 1. **Suma total de acciones:** Como máximo 1200 acciones. $$x + y \le 1200$$ 2. **Límite de acciones tipo A:** No comprará más de 500. $$x \le 500$$ 3. **Mínimo de acciones tipo B:** Al menos 350. $$y \ge 350$$ 4. **Relación entre acciones B y A:** El número de B no debe superar el triple de A. $$y \le 3x$$ 5. **Restricciones de no negatividad:** Aunque $y \ge 350$ ya implica positividad, por rigor indicamos que las cantidades no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} x + y \le 1200 \\ x \le 500 \\ y \ge 350 \\ y \le 3x \end{cases}$$

Para encontrar los puntos donde se puede alcanzar el máximo, resolvemos los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que delimitan la región: - **Vértice A** (Intersección de $y = 350$ y $y = 3x$): $$350 = 3x \implies x = \frac{350}{3} \approx 116,67 \implies A(116,67; 350)$$ - **Vértice B** (Intersección de $y = 350$ y $x = 500$): $$B(500, 350)$$ - **Vértice C** (Intersección de $x = 500$ y $x + y = 1200$): $$500 + y = 1200 \implies y = 700 \implies C(500, 700)$$ - **Vértice D** (Intersección de $x + y = 1200$ y $y = 3x$): $$x + 3x = 1200 \implies 4x = 1200 \implies x = 300 \implies y = 900 \implies D(300, 900)$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos de corte de las rectas que limitan el recinto. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal nos dice que el óptimo siempre estará en uno de estos vértices o en un segmento que los una.

Representamos la región factible delimitada por las restricciones. El área sombreada contiene todas las combinaciones posibles de acciones $(x, y)$ que cumplen las condiciones del inversor.

Evaluamos la función $B(x, y) = 0,2x + 0,08y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor máximo: - Para **$A(116,67; 350)$**: $$B(116,67; 350) = 0,2 \cdot 116,67 + 0,08 \cdot 350 = 23,33 + 28 = 51,33 \text{ €}$$ - Para **$B(500, 350)$**: $$B(500, 350) = 0,2 \cdot 500 + 0,08 \cdot 350 = 100 + 28 = 128 \text{ €}$$ - Para **$C(500, 700)$**: $$B(500, 700) = 0,2 \cdot 500 + 0,08 \cdot 700 = 100 + 56 = 156 \text{ €}$$ - Para **$D(300, 900)$**: $$B(300, 900) = 0,2 \cdot 300 + 0,08 \cdot 900 = 60 + 72 = 132 \text{ €}$$ Comparando los resultados, el beneficio máximo es de **156 €**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe comprar 500 acciones de tipo A y 700 acciones de tipo B para un beneficio de 156 €}}$$