Continuidad, Discontinuidades Evitables y Parámetros

**1. [0,25 PUNTOS] ¿En qué puntos es discontinua?** La función $f(x) = \frac{x + 5}{2x^2 + 4x - 30}$ es una función racional. Este tipo de funciones son continuas en todo su dominio, es decir, en todos los puntos excepto en aquellos que anulan el denominador. Para hallar los puntos de discontinuidad, igualamos el denominador a cero: $$2x^2 + 4x - 30 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por 2: $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$$ Obtenemos dos valores: - $x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una función racional, los puntos donde el denominador es cero son los candidatos a asíntotas verticales o discontinuidades evitables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es discontinua en } x = 3 \text{ y } x = -5}$$

**2. [0,5 PUNTOS] ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad?** Una discontinuidad en $x=c$ es **evitable** si existe el límite finito $\lim_{x \to c} f(x) = L$. En ese caso, podemos redefinir la función asignando $f(c) = L$. Factorizamos el denominador $2x^2 + 4x - 30 = 2(x - 3)(x + 5)$ para analizar los límites: - **En $x = -5$:** $$\lim_{x \to -5} \frac{x + 5}{2(x - 3)(x + 5)} = \lim_{x \to -5} \frac{1}{2(x - 3)} = \frac{1}{2(-5 - 3)} = \frac{1}{-16} = -\frac{1}{16}$$ Como el límite es un número real, la discontinuidad en $x = -5$ es **evitable**. - **En $x = 3$:** $$\lim_{x \to 3} \frac{x + 5}{2(x - 3)(x + 5)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{2(x - 3)} = \frac{1}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, la discontinuidad en $x = 3$ es de salto infinito (no evitable). 💡 **Tip:** Si al simplificar la fracción el factor del denominador desaparece, la discontinuidad suele ser evitable. ✅ **Redefinición para evitar la discontinuidad en $x = -5$:** $$\boxed{f(x) = \begin{cases} \frac{x + 5}{2x^2 + 4x - 30} & \text{si } x \neq -5 \text{ y } x \neq 3 \\ -\frac{1}{16} & \text{si } x = -5 \end{cases}}$$

**3. [0,5 PUNTOS] Calcular los dos límites laterales en $x = 3$. Interpretar gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor.** Utilizamos la expresión simplificada $f(x) = \frac{1}{2(x - 3)}$ para calcular los límites laterales: - **Límite por la izquierda ($x \to 3^-$):** Si $x$ se acerca a 3 por valores menores (ej. 2,99), $(x-3)$ es negativo y muy pequeño. $$\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{2(x - 3)} = \frac{1}{2(0^-)} = -\infty$$ - **Límite por la derecha ($x \to 3^+$):** Si $x$ se acerca a 3 por valores mayores (ej. 3,01), $(x-3)$ es positivo y muy pequeño. $$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{2(x - 3)} = \frac{1}{2(0^+)} = +\infty$$ **Interpretación gráfica:** Dado que los límites laterales son infinitos, la función presenta una **asíntota vertical** en la recta $x = 3$. La curva cae hacia $-\infty$ por la izquierda y sube hacia $+\infty$ por la derecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Dada la función $f(x)$ a trozos, determinar los valores de a y b para los que la función es continua en $x = 2$ y en $x = 4$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ 1. **Límite por la izquierda ($x \le 2$):** $$\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 2a}{x - 5} = \frac{2 + 2a}{2 - 5} = \frac{2 + 2a}{-3}$$ 2. **Límite por la derecha ($2 \lt x \le 4$):** $$\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 5) = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1$$ Igualamos ambos resultados: $$\frac{2 + 2a}{-3} = -1 \implies 2 + 2a = (-1) \cdot (-3) \implies 2 + 2a = 3$$ $$2a = 3 - 2 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad se garantiza igualando las expresiones de las ramas en el punto de salto. ✅ **Valor de a:** $$\boxed{a = 0,5}$$

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 4$, deben coincidir los límites laterales: $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$$ 1. **Límite por la izquierda ($2 \lt x \le 4$):** $$\lim_{x \to 4^-} (x^2 - 5) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11$$ 2. **Límite por la derecha ($x \gt 4$):** $$\lim_{x \to 4^+} (x^2 + 2x - b) = 4^2 + 2(4) - b = 16 + 8 - b = 24 - b$$ Igualamos ambos resultados: $$11 = 24 - b$$ Despejamos $b$: $$b = 24 - 11$$ $$b = 13$$ ✅ **Resultado final:** Para que la función sea continua en $x=2$ y $x=4$, los valores deben ser: $$\boxed{a = 0,5 \quad \text{y} \quad b = 13}$$