Estudio de funciones polinómicas, representación y área

**A. [0,25 PUNTOS] Obtener sus puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte de una función $y=h(x)$ con los ejes: - **Eje OY:** Hacemos $x=0$ y calculamos $h(0)$. - **Eje OX:** Hacemos $h(x)=0$ y resolvemos la ecuación. **Para $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$:** - **Eje OY:** $f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0$. Punto $\mathbf{(0,0)}$. - **Eje OX:** $x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \implies x(x^2 - 6x + 9) = 0$. Esto nos da $x=0$ y la ecuación de segundo grado $(x-3)^2 = 0$, de donde $x=3$. Puntos $\mathbf{(0,0)}$ y $\mathbf{(3,0)}$. **Para $g(x) = x^2 - x$:** - **Eje OY:** $g(0) = 0^2 - 0 = 0$. Punto $\mathbf{(0,0)}$. - **Eje OX:** $x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Esto nos da $x=0$ y $x=1$. Puntos $\mathbf{(0,0)}$ e $\mathbf{(1,0)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x): (0,0), (3,0) \quad g(x): (0,0), (1,0)}$$

**B. [1 PUNTO] Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Empezamos con **$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$**. Calculamos su derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 1$ y $x_2 = 3$. **Estudio del signo de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ - **Decrecimiento:** $(1, 3)$ - **Máximo relativo:** En $x=1$, $f(1) = 1-6+9=4 \implies \mathbf{(1, 4)}$ - **Mínimo relativo:** En $x=3$, $f(3) = 27-54+27=0 \implies \mathbf{(3, 0)}$

Ahora para **$g(x) = x^2 - x$**, que es una parábola: $$g'(x) = 2x - 1$$ Igualamos a cero: $$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$$ **Estudio del signo de $g'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\\hline g'(x) & - & 0 & +\\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $(1/2, +\infty)$ - **Decrecimiento:** $(-\infty, 1/2)$ - **Mínimo relativo:** En $x=1/2$, $g(1/2) = (1/2)^2 - 1/2 = 1/4 - 1/2 = -1/4 \implies \mathbf{(1/2, -0.25)}$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una parábola $ax^2+bx+c$, si $a \gt 0$, el vértice siempre es un mínimo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x): \text{Máx}(1,4), \text{Mín}(3,0) \quad g(x): \text{Mín}(0.5, -0.25)}$$

**C. [0,25 PUNTOS] Dibujar las gráficas de ambas funciones indicando la región delimitada por ambas.** Antes de dibujar, calculamos dónde se cortan las dos funciones: $f(x) = g(x)$ $$x^3 - 6x^2 + 9x = x^2 - x \implies x^3 - 7x^2 + 10x = 0$$ Factorizamos: $$x(x^2 - 7x + 10) = 0 \implies x(x-2)(x-5) = 0$$ Los puntos de corte son **$x=0$, $x=2$ y $x=5$**. Esto define dos recintos de área: uno entre $x=0$ y $x=2$, y otro entre $x=2$ y $x=5$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^3-6x^2+9x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=x^2-x", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg1", "latex": "x^2-x \\le y \\le x^3-6x^2+9x \\{0 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "x^3-6x^2+9x \\le y \\le x^2-x \\{2 \\le x \\le 5\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 6, "bottom": -2, "top": 22 } } }

**D. [1 PUNTO] Calcular el área de la región anterior.** El área total es la suma de las áreas de los dos recintos encontrados. Llamamos $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. $$Area = \int_0^2 (x^3 - 7x^2 + 10x) dx + \left| \int_2^5 (x^3 - 7x^2 + 10x) dx \right|$$ Calculamos la primitiva genérica: $$\int (x^3 - 7x^2 + 10x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{7x^3}{3} + 5x^2 + C$$ **Recinto 1 ($x \in [0, 2]$):** $$I_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{7x^3}{3} + 5x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{7 \cdot 8}{3} + 5 \cdot 4 \right) - 0 = 4 - \frac{56}{3} + 20 = 24 - \frac{56}{3} = \frac{72-56}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ **Recinto 2 ($x \in [2, 5]$):** $$I_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{7x^3}{3} + 5x^2 \right]_2^5 = \left( \frac{625}{4} - \frac{875}{3} + 125 \right) - \frac{16}{3}$$ $$I_2 = \frac{1875 - 3500 + 1500}{12} - \frac{64}{12} = -\frac{125}{12} - \frac{64}{12} = -\frac{189}{12} = -\frac{63}{4} \text{ u}^2$$ Tomamos el valor absoluto para el área: $|-63/4| = 63/4$. **Área Total:** $$Area = \frac{16}{3} + \frac{63}{4} = \frac{64 + 189}{12} = \frac{253}{12} \approx 21.083 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Aplicamos la Regla de Barrow: $\int_a^b h(x)dx = H(b) - H(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{253}{12} \text{ u}^2}$$