Probabilidad con tablas de contingencia

Para resolver este ejercicio, primero identificamos los sucesos a partir de la información de la tabla: - $E_1$: El habitante tiene entre 18 y 35 años. - $E_2$: El habitante tiene entre 36 y 55 años. - $E_3$: El habitante es mayor de 55 años. - $C$: El habitante colabora con alguna ONG. - $\bar{C}$: El habitante no colabora con ninguna ONG. La tabla de contingencia ya nos proporciona los totales de cada fila y columna, lo cual facilita el cálculo de probabilidades directas y condicionadas. 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la probabilidad simple se calcula como el total de la categoría dividido por el gran total, mientras que la condicionada reduce el espacio muestral al total de la fila o columna dada.

**A. [1,25 PUNTOS] Calcular la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 18 y 35 años.** Aplicamos la **Regla de Laplace**, que establece que la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. - Casos posibles (Total de habitantes): $N = 3510$. - Casos favorables (Habitantes entre 18 y 35 años): $n(E_1) = 652$. La probabilidad solicitada es: $$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{N} = \frac{652}{3510}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(E_1) \approx 0.18575$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(18-35 \text{ años}) = \frac{652}{3510} \approx 0.1858}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Si sabemos que no colabora con ninguna ONG, ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 36 y 55 años?** En este apartado nos enfrentamos a una **probabilidad condicionada**. Sabemos de antemano que el habitante elegido pertenece al grupo que no colabora ($\bar{C}$). Esto significa que nuestro nuevo espacio muestral se reduce únicamente a la fila de "No colabora". - Total de personas que no colaboran (casos posibles del nuevo grupo): $n(\bar{C}) = 1751$. - Personas que no colaboran y tienen entre 36 y 55 años (casos favorables): $n(E_2 \cap \bar{C}) = 1034$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(E_2 | \bar{C}) = \frac{P(E_2 \cap \bar{C})}{P(\bar{C})} = \frac{n(E_2 \cap \bar{C})}{n(\bar{C})}$$ Sustituimos los valores: $$P(E_2 | \bar{C}) = \frac{1034}{1751}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(E_2 | \bar{C}) \approx 0.59052$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(B|A)$ se lee como "probabilidad de B dado que ha ocurrido A". En la tabla, solo tienes que mirar la fila o columna que indica la condición y usar ese total como denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(36-55 | \text{No ONG}) = \frac{1034}{1751} \approx 0.5905}$$