Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**A. [1,25 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 94 % para el tiempo medio.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa las horas semanales de lectura: - La distribución es normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$. - Tamaño de la muestra: $n = 375$. - Media muestral: $\bar{x} = 4$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,94$. La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal de la forma: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(\mu, \frac{2}{\sqrt{375}}\right)$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para la media, si la población es normal (o la muestra es suficientemente grande, $n \gt 30$), la media de las muestras se distribuye de forma normal.

Para un nivel de confianza del $94\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,94 \implies \alpha = 0,06$. 2. Repartimos el error en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0,03$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - \alpha/2 = 0,97$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,97$$ Mirando en la tabla de la distribución normal estándar: - Para $z = 1,88$, la probabilidad es $0,9699$. - Para $z = 1,89$, la probabilidad es $0,9706$. El valor más cercano es **$z_{\alpha/2} = 1,88$**. 💡 **Tip:** El valor crítico es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,88 \cdot \frac{2}{\sqrt{375}} = 1,88 \cdot \frac{2}{19,3649} \approx 1,88 \cdot 0,1033 = 0,1942$$ El intervalo de confianza viene dado por $I = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I = (4 - 0,1942, 4 + 0,1942) = (3,8058, 4,1942)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I = (3,8058, 4,1942)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior?** Se nos pide un nuevo tamaño de muestra $n'$ bajo estas condiciones: 1. Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha' = 0,90$. 2. Nuevo error: $E' = \frac{E}{4} = \frac{0,1942}{4} = 0,04855$. Primero, buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90\%$: - $1 - \alpha' = 0,90 \implies \alpha'/2 = 0,05$. - Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. En las tablas, el valor correspondiente a $0,95$ está exactamente entre $1,64$ y $1,65$, por lo que tomamos **$z_{\alpha/2} = 1,645$**. 💡 **Tip:** A menor nivel de confianza, menor es el valor crítico y, por tanto, menor es el error si mantenemos el resto de variables constantes.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n'$: $$E' = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n'}} \implies \sqrt{n'} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \implies n' = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n' = \left( \frac{1,645 \cdot 2}{0,04855} \right)^2 = \left( \frac{3,29}{0,04855} \right)^2 \approx (67,765)^2 \approx 4592,12$$ Si utilizamos el valor exacto del error anterior ($E = 1,88 \cdot \frac{2}{\sqrt{375}}$): $$n' = \left( \frac{1,645 \cdot 2}{\frac{1,88 \cdot 2}{4 \cdot \sqrt{375}}} \right)^2 = \left( \frac{1,645 \cdot 4 \cdot \sqrt{375}}{1,88} \right)^2 = \left( \frac{6,58}{1,88} \right)^2 \cdot 375 = (3,5)^2 \cdot 375 = 4593,75$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser *como máximo* el indicado, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n \ge 4594}$$