Problema de sistema de ecuaciones lineales: Actividades físicas

Para resolver el problema, primero debemos identificar las incógnitas y asignarles una variable. En este caso, buscamos el número de personas en cada actividad: - $x$: número de personas que practican **correr**. - $y$: número de personas que practican **yoga**. - $z$: número de personas que practican **natación**. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de álgebra de contexto para evitar confusiones al plantear las ecuaciones.

A partir del enunciado, traducimos la información a lenguaje algebraico para formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. El total de personas es 60: $$x + y + z = 60$$ 2. Hay 18 personas menos en correr que la suma de yoga y natación: $$x = (y + z) - 18 \implies x - y - z = -18$$ 3. La séptima parte de los que corren es igual a la quinta parte de los que hacen yoga: $$\frac{x}{7} = \frac{y}{5} \implies 5x = 7y \implies 5x - 7y = 0$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ x - y - z = -18 \\ 5x - 7y = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Lee con cuidado frases como "18 menos que...". Si $A$ tiene 18 menos que $B$, entonces $A = B - 18$.

Podemos simplificar el sistema combinando las dos primeras ecuaciones para eliminar las variables $y$ y $z$ simultáneamente. Sumamos la primera y la segunda ecuación: $$(x + y + z) + (x - y - z) = 60 + (-18)$$ $$2x = 42$$ $$x = \frac{42}{2} = 21$$ Ya sabemos que hay **21 personas que corren**. 💡 **Tip:** En sistemas donde aparecen términos como $y+z$ y $-y-z$, la suma de ecuaciones (reducción) es el camino más rápido para despejar una variable.

Sustituimos el valor de $x = 21$ en la tercera ecuación para hallar $y$: $$5(21) - 7y = 0$$ $$105 - 7y = 0$$ $$105 = 7y$$ $$y = \frac{105}{7} = 15$$ Por tanto, hay **15 personas que practican yoga**.

Finalmente, sustituimos los valores de $x = 21$ e $y = 15$ en la primera ecuación para hallar $z$: $$21 + 15 + z = 60$$ $$36 + z = 60$$ $$z = 60 - 36$$ $$z = 24$$ Hay **24 personas que practican natación**.

Comprobamos que se cumplen todas las condiciones: - Suma total: $21 + 15 + 24 = 60$. (Correcto) - Correr frente a yoga+natación: $21 = (15 + 24) - 18 \implies 21 = 39 - 18$. (Correcto) - Proporción correr/yoga: $21/7 = 3$ y $15/5 = 3$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Correr: 21 personas, Yoga: 15 personas, Natación: 24 personas}}$$