Optimización de beneficios en venta de lotes

Lo primero que debemos hacer es identificar qué nos pide el problema y definir las variables de decisión. Sea: - $x$: número de lotes del tipo A vendidos. - $y$: número de lotes del tipo B vendidos. Organizamos la información de los botes de legumbres y el beneficio en una tabla para visualizar mejor las restricciones: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Lote A } (x) & \text{Lote B } (y) & \text{Existencias máx.} \\ \hline \text{Alubias} & 1 & 2 & 100 \\ \hline \text{Garbanzos} & 3 & 1 & 150 \\ \hline \text{Beneficio (€)} & 3 & 2 & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Definir correctamente las variables es el paso más crítico. Fíjate en la pregunta final: "¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo?". Eso nos indica qué son $x$ e $y$.

A partir de la tabla y el enunciado, escribimos el modelo matemático. **Función objetivo (a maximizar):** $$f(x, y) = 3x + 2y$$ **Restricciones del problema:** 1. **Alubias:** $1x + 2y \le 100$ 2. **Garbanzos:** $3x + 1y \le 150$ 3. **Ventas mínimas de A:** $x \ge 10$ 4. **Ventas mínimas de B:** $y \ge 15$ Como $x$ e $y$ representan cantidades de lotes, implícitamente $x, y \in \mathbb{Z}$ y deben ser mayores o iguales a cero (aunque ya están cubiertas por las restricciones de venta mínima). $$\boxed{\text{Maximizar } f(x,y)=3x+2y \text{ sujeto a: } \begin{cases} x + 2y \le 100 \\ 3x + y \le 150 \\ x \ge 10 \\ y \ge 15 \end{cases}}$$

Dibujamos las rectas asociadas a las desigualdades para delimitar la región factible: - $r_1: x + 2y = 100$. Pasa por $(0, 50)$ y $(100, 0)$. Como es $\le$, la región está por debajo. - $r_2: 3x + y = 150$. Pasa por $(0, 150)$ y $(50, 0)$. Como es $\le$, la región está por debajo. - $r_3: x = 10$. Recta vertical. Como es $\ge$, la región está a la derecha. - $r_4: y = 15$. Recta horizontal. Como es $\ge$, la región está por arriba. La **región factible** es el polígono sombreado donde se cumplen todas las condiciones a la vez.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 10$ e $y = 15$. $$\mathbf{A(10, 15)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 10$ y $x + 2y = 100$. $10 + 2y = 100 \implies 2y = 90 \implies y = 45$. $$\mathbf{B(10, 45)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + 2y = 100$ y $3x + y = 150$. Despejamos $y$ en la segunda: $y = 150 - 3x$. Sustituimos en la primera: $x + 2(150 - 3x) = 100 \implies x + 300 - 6x = 100 \implies -5x = -200 \implies x = 40$. Sustituimos $x$: $y = 150 - 3(40) = 30$. $$\mathbf{C(40, 30)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $y = 15$ y $3x + y = 150$. $3x + 15 = 150 \implies 3x = 135 \implies x = 45$. $$\mathbf{D(45, 15)}$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los "candidatos" a ser la solución óptima según el teorema fundamental de la programación lineal.

Evaluamos $f(x, y) = 3x + 2y$ en cada vértice para encontrar el beneficio máximo: - $f(10, 15) = 3(10) + 2(15) = 30 + 30 = 60 \text{ €}$ - $f(10, 45) = 3(10) + 2(45) = 30 + 90 = 120 \text{ €}$ - $f(40, 30) = 3(40) + 2(30) = 120 + 60 = 180 \text{ €}$ - $f(45, 15) = 3(45) + 2(15) = 135 + 30 = 165 \text{ €}$ El valor máximo es **180 €**, que se alcanza vendiendo **40 lotes del tipo A y 30 lotes del tipo B**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Vender 40 lotes tipo A y 30 lotes tipo B. Beneficio máximo: 180 €}}$$