Continuidad de una función a trozos e integral definida

**a) Determinar el valor de $m$ para que $f(x)$ sea continua.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, el único punto crítico que debemos estudiar es el valor de **salto entre ramas**, que en este caso es $x = 2$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función: $f(2)$ 2. Que exista el límite cuando $x$ tiende a $2$: $\lim_{x \to 2} f(x)$ 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ Esto implica que los límites laterales en el punto de cambio de rama deben ser iguales: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua, no debe haber "saltos" en su gráfica. En las funciones a trozos, esto se garantiza igualando los límites por la izquierda y por la derecha en los puntos donde cambia la definición.

Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = 2$: - **Límite por la izquierda ($x \le 2$):** Usamos la primera rama $f(x) = -x^2 + 8$. $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -(2)^2 + 8 = -4 + 8 = 4$$ - **Valor de la función:** Como el intervalo es $-1 \lt x \le 2$, incluimos el $2$ en la primera rama. $$f(2) = -(2)^2 + 8 = 4$$ - **Límite por la derecha ($x \gt 2$):** Usamos la segunda rama $f(x) = x + m$. $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 + m$$ Igualamos los resultados para asegurar la continuidad: $$4 = 2 + m \implies m = 4 - 2 \implies m = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2}$$

**b) Calcular el área delimitada por $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[0, 1]$.** Primero, identificamos qué rama de la función corresponde al intervalo $[0, 1]$. Como el intervalo $[0, 1]$ está contenido en $(-1, 2]$, utilizaremos la primera expresión de la función: $$f(x) = -x^2 + 8$$ El área $A$ vendrá dada por la integral definida de la función en dicho intervalo: $$A = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 8) \, dx$$ Comprobamos si la función corta al eje OX en este intervalo para ver si cambia de signo. $-x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} \approx \pm 2,83$. Como estos puntos están fuera del intervalo $[0, 1]$, la función no cruza el eje y podemos integrar directamente. 💡 **Tip:** El área delimitada por una función positiva y el eje OX es simplemente el valor de la integral definida. Si la función fuera negativa, tendríamos que usar el valor absoluto.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 8) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 8x + C$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 1]$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 8x \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los límites de integración: $$A = \left( -\frac{1^3}{3} + 8(1) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 8(0) \right)$$ $$A = \left( -\frac{1}{3} + 8 \right) - 0 = \frac{-1 + 24}{3} = \frac{23}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{23}{3} \approx 7,67 \text{ u}^2}$$