Crecimiento y optimización de la cotización de Bitcoin

**a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función $f(t)$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, debemos analizar el signo de su primera derivada. La función es $f(t) = 20t^2 - 200t + 1000$, definida en el intervalo $t \in [0, 24]$, ya que $t$ representa las horas de un día. Calculamos la derivada $f'(t)$: $$f'(t) = 40t - 200$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$40t - 200 = 0 \implies 40t = 200 \implies t = \frac{200}{40} = 5$$ El punto crítico se encuentra en **$t = 5$ horas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(t) \gt 0$, la función es creciente, y si $f'(t) \lt 0$, es decreciente.

Analizamos el signo de $f'(t) = 40t - 200$ en los intervalos definidos por el punto crítico dentro del dominio del día $[0, 24]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, 5) & 5 & (5, 24]\\ \hline f'(t) & - & 0 & +\\ \hline f(t) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 5)$, si tomamos $t=1$: $f'(1) = 40(1) - 200 = -160 \lt 0$. La función es **decreciente**. - En el intervalo $(5, 24)$, si tomamos $t=6$: $f'(6) = 40(6) - 200 = 40 \gt 0$. La función es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 5) \text{ y Creciente en } (5, 24)}$$

**b) ¿Cuánto se paga por la compra de 10 Bitcoins en el momento de mínima cotización de ese día?** Según el estudio anterior, el mínimo absoluto de la cotización se alcanza a las **$t = 5$ horas**, ya que la función pasa de decrecer a crecer en ese punto. Calculamos el valor de un Bitcoin en ese momento sustituyendo $t=5$ en la función original $f(t)$: $$f(5) = 20(5)^2 - 200(5) + 1000$$ $$f(5) = 20(25) - 1000 + 1000$$ $$f(5) = 500 \text{ euros}$$ 💡 **Tip:** No olvides que $f(t)$ da el precio de **un** Bitcoin. El enunciado pregunta por el precio de **diez** Bitcoins.

Si el precio de un Bitcoin en el momento de mínima cotización es de $500$ euros, el coste de comprar $10$ Bitcoins será: $$\text{Coste total} = 10 \cdot f(5) = 10 \cdot 500 = 5000 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{5000 \text{ euros}}$$