Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Transporte escolar

**a) Calcular la probabilidad de que el estudiante llegue tarde.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $C$: El estudiante utiliza su **coche**. - $B$: El estudiante utiliza el **autobús**. - $T$: El estudiante llega **tarde**. - $\bar{T}$: El estudiante llega **a tiempo** (no tarde). Extraemos las probabilidades del enunciado: - $P(C) = 0,70 \implies P(B) = 1 - 0,70 = 0,30$ (el resto de los días). - Probabilidad de llegar tarde si usa coche: $P(T|C) = 0,20 \implies P(\bar{T}|C) = 0,80$. - Probabilidad de llegar a tiempo si usa autobús: $P(\bar{T}|B) = 0,10 \implies P(T|B) = 0,90$. Representamos estos datos en un **diagrama de árbol** para visualizar todos los caminos posibles:

Para hallar la probabilidad de que el estudiante llegue tarde, $P(T)$, sumamos las probabilidades de todos los caminos que terminan en el suceso $T$ (**Teorema de la Probabilidad Total**): $$P(T) = P(C \cap T) + P(B \cap T)$$ $$P(T) = P(C) \cdot P(T|C) + P(B) \cdot P(T|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(T) = 0,70 \cdot 0,20 + 0,30 \cdot 0,90$$ $$P(T) = 0,14 + 0,27 = 0,41$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a $1$ ($0,7+0,3=1$, $0,2+0,8=1$, etc.). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T) = 0,41}$$

**b) Si ha llegado a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: la probabilidad de que haya usado el autobús ($B$) dado que sabemos que ha llegado a tiempo ($\bar{T}$). Usaremos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(B|\bar{T}) = \frac{P(B \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ Primero, calculamos la probabilidad de llegar a tiempo $P(\bar{T})$ usando el suceso contrario de llegar tarde: $$P(\bar{T}) = 1 - P(T) = 1 - 0,41 = 0,59$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (ir en autobús y llegar a tiempo): $$P(B \cap \bar{T}) = P(B) \cdot P(\bar{T}|B) = 0,30 \cdot 0,10 = 0,03$$ Finalmente, aplicamos Bayes: $$P(B|\bar{T}) = \frac{0,03}{0,59} = \frac{3}{59} \approx 0,0508$$ 💡 **Tip:** Cuando un ejercicio te da un dato ya ocurrido (como "ha llegado a tiempo") y te pregunta por la causa original, casi siempre se resuelve aplicando el Teorema de Bayes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|\bar{T}) = \frac{3}{59} \approx 0,0508}$$