Tiempo de registro de pedidos: Suma y media muestral

**a) Calcular la probabilidad de que el servidor tarde más de 73 minutos en registrar los 365 pedidos.** Primero, definimos la variable aleatoria individual: $X$: tiempo que tarda el servidor en registrar un pedido (en minutos). Según el enunciado, $X \sim N(\mu=0.16, \sigma=0.37)$. Nos piden la probabilidad de que el tiempo total de $n=365$ pedidos sea mayor de 73 minutos. Definimos la variable suma: $$S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_{365}$$ Como la suma de variables normales independientes es también una normal, la distribución de la suma $S_n$ sigue: - Media: $\mu_S = n \cdot \mu = 365 \cdot 0.16 = 58.4 \text{ min}.$ - Desviación típica: $\sigma_S = \sigma \cdot \sqrt{n} = 0.37 \cdot \sqrt{365} \approx 0.37 \cdot 19.105 \approx 7.0688 \text{ min}.$ Por tanto, $S_n \sim N(58.4, 7.0688)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si sumas $n$ variables independientes con la misma distribución $N(\mu, \sigma)$, el resultado es una $N(n\mu, \sigma\sqrt{n})$.

Queremos calcular $P(S_n \gt 73)$. Para ello, tipificamos la variable pasando a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{S_n - \mu_S}{\sigma_S}$: $$P(S_n \gt 73) = P\left( Z \gt \frac{73 - 58.4}{7.0688} \right) = P\left( Z \gt \frac{14.6}{7.0688} \right) \approx P(Z \gt 2.07)$$ Como las tablas de la normal suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, aplicamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 2.07) = 1 - P(Z \le 2.07)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, obtenemos que $P(Z \le 2.07) = 0.9808$. $$1 - 0.9808 = 0.0192$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S_n \gt 73) = 0.0192}$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, redondeamos el valor de $Z$ a dos decimales para poder buscarlo fácilmente en la tabla estándar.

**b) Calcular la probabilidad de que el tiempo medio de registro de esos 365 pedidos sea menor o igual que 0.18 minutos.** En este apartado nos preguntan por el tiempo medio de los 365 pedidos, que denotamos como $\bar{X}$. La distribución de la media muestral $\bar{X}$ de una población normal $N(\mu, \sigma)$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores conocidos: - Media: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 0.16.$ - Desviación típica: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{0.37}{\sqrt{365}} \approx \frac{0.37}{19.105} \approx 0.0194.$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(0.16, 0.0194)$. 💡 **Tip:** No confundas la desviación típica de la suma (multiplicar por $\sqrt{n}$) con la de la media (dividir por $\sqrt{n}$).

Queremos calcular $P(\bar{X} \le 0.18)$. Tipificamos la variable: $$P(\bar{X} \le 0.18) = P\left( Z \le \frac{0.18 - 0.16}{0.0194} \right) = P\left( Z \le \frac{0.02}{0.0194} \right) \approx P(Z \le 1.03)$$ Buscamos directamente en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ el valor correspondiente a $1.03$: $$P(Z \le 1.03) = 0.8485$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \le 0.18) = 0.8485}$$