Operaciones combinadas con matrices

Para resolver la expresión $AB + C$, primero debemos realizar el producto de las matrices $A$ y $B$. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 2$ (dos filas y dos columnas) y la matriz $B$ es de dimensión $2 \times 1$ (dos filas y una columna). Como el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$, el producto es posible y el resultado será una matriz de dimensión $2 \times 1$. Calculamos los elementos de $AB$ multiplicando cada fila de $A$ por la columna de $B$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3) + (2 \cdot 5) \\ (0 \cdot 3) + (3 \cdot 5) \end{pmatrix}$$ Operamos los productos y sumas: $$AB = \begin{pmatrix} 3 + 10 \\ 0 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 15 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera matriz por los elementos de la columna de la segunda y sumamos los resultados: $(f_i \cdot c_j)$. $$\mathbf{AB = \begin{pmatrix} 13 \\ 15 \end{pmatrix}}$$

Una vez obtenido el producto $AB$, procedemos a sumarle la matriz $C$. Para que dos matrices se puedan sumar, deben tener la misma dimensión. En este caso, tanto $AB$ como $C$ son matrices de dimensión $2 \times 1$, por lo que podemos realizar la operación sumando los elementos que ocupan la misma posición: $$AB + C = \begin{pmatrix} 13 \\ 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 + 2 \\ 15 + 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la suma final: $$AB + C = \begin{pmatrix} 15 \\ 16 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En la suma de matrices, simplemente sumamos término a término: el de la posición (1,1) con el (1,1), el de la (2,1) con el (2,1), etc. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{AB + C = \begin{pmatrix} 15 \\ 16 \end{pmatrix}}$$