Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$ (hasta 2 puntos).** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & -5 \\ 1 & 2 & -a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & -a & -1 \end{array}\right)$$ Para clasificar el sistema, estudiaremos el rango de estas matrices comparándolos con el número de incógnitas ($n=3$) mediante el **Teorema de Rouché-Capelli**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$, el sistema es Compatible Determinado (solución única). Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$, es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, es Incompatible (sin solución).

Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & -5 \\ 1 & 2 & -a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 2 \cdot (-a) + 2 \cdot (-5) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) \cdot 2] - [1 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \cdot (-a) + 1 \cdot (-5) \cdot 2]$$ $$|A| = [-2a - 10 - 6] - [2 + 6a - 10]$$ $$|A| = -2a - 16 - (6a - 8)$$ $$|A| = -2a - 16 - 6a + 8 = -8a - 8$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo la matriz no tiene rango máximo: $$-8a - 8 = 0 \implies -8a = 8 \implies \mathbf{a = -1}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Sarrus, especialmente cuando el parámetro tiene un signo negativo delante.

Si **$a \neq -1$**: En este caso, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). 1. Por tanto, el rango de $A$ es máximo: **$\text{rg}(A) = 3$**. 2. Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz de $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Al contener a $A$, su rango también debe ser 3: **$\text{rg}(A^*) = 3$**. 3. El número de incógnitas es **$n = 3$**. Según el Teorema de Rouché-Capelli, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$: $$\boxed{\text{Si } a \neq -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si **$a = -1$**: Sustituimos $a = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que **$\text{rg}(A) \lt 3$** porque el determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-6) = 8 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rg}(A) = 2}$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando una columna de $A$ y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-2 + 4 + 0) - (0 + 4 - 6) = 2 - (-2) = 4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en la ampliada, **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Comparando rangos: $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$. $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) Resolver el sistema para $a = -2$ (hasta 1 punto).** Como $a = -2 \neq -1$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una única solución). Sustituimos $a = -2$ en el sistema: $$\begin{cases} x + 2y + z = 0 & (E1) \\ -3x + 2y - 5z = 2 & (E2) \\ x + 2y + 2z = -1 & (E3) \end{cases}$$ Podemos usar el método de reducción. Si restamos la primera ecuación a la tercera: $$(x + 2y + 2z) - (x + 2y + z) = -1 - 0 \implies \mathbf{z = -1}$$ 💡 **Tip:** En sistemas con parámetros, a veces una simple resta entre filas donde coinciden varios coeficientes (como $x$ e $y$ aquí) ahorra mucho tiempo frente a la regla de Cramer.

Sustituimos $z = -1$ en las ecuaciones $(E1)$ y $(E2)$: 1. $x + 2y + (-1) = 0 \implies x + 2y = 1$ 2. $-3x + 2y - 5(-1) = 2 \implies -3x + 2y = -3$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -3x + 2y = -3 \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera para eliminar la $y$: $$(x - (-3x)) + (2y - 2y) = 1 - (-3)$$ $$4x = 4 \implies \mathbf{x = 1}$$ Finalmente, calculamos $y$ sustituyendo $x=1$ en $x + 2y = 1$: $$1 + 2y = 1 \implies 2y = 0 \implies \mathbf{y = 0}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 0, \quad z = -1}$$