Programación lineal: Fabricación de televisores LED y QLED

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar las incógnitas y qué queremos maximizar. Definimos las variables: - $x$: número de televisores tipo **LED**. - $y$: número de televisores tipo **QLED**. La función objetivo representa el beneficio total que queremos maximizar. Como el beneficio es de 70 € por cada LED y 50 € por cada QLED, la función es: $$B(x, y) = 70x + 50y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables de decisión (lo que se fabrica o compra) y la función que mide el éxito (beneficio, coste, etc.) antes de escribir las restricciones.

Traducimos las limitaciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Horas de electrónica:** Cada LED gasta 4h y cada QLED 3h. El total no puede superar las 2400h. $$4x + 3y \le 2400$$ 2. **Horas de montaje:** Cada LED gasta 2h y cada QLED 1h. El total no puede superar las 1000h. $$2x + y \le 1000$$ 3. **Demanda de QLED:** Se deben fabricar al menos 200 televisores QLED. $$y \ge 200$$ 4. **No negatividad:** Como no se pueden fabricar televisores negativos (y ya sabemos que $y \ge 200$): $$x \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} 4x + 3y \le 2400 \\ 2x + y \le 1000 \\ y \ge 200 \\ x \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Las restricciones suelen venir dadas por recursos limitados (tiempo, dinero, materiales) o por mínimos de producción exigidos.

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región donde se encuentran las soluciones válidas. - **Recta $r_1$ ($4x+3y=2400$):** Si $x=0, y=800$; si $y=0, x=600$. Pasa por $(0, 800)$ y $(600, 0)$. - **Recta $r_2$ ($2x+y=1000$):** Si $x=0, y=1000$; si $y=0, x=500$. Pasa por $(0, 1000)$ y $(500, 0)$. - **Recta $r_3$ ($y=200$):** Recta horizontal que pasa por $y=200$. - **Recta $r_4$ ($x=0$):** El eje de ordenadas. La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades a la vez.

Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas que limitan la región: - **Vértice $A$ (Intersección $x=0$ con $y=200$):** $$A(0, 200)$$ - **Vértice $B$ (Intersección $x=0$ con $4x+3y=2400$):** $$3y=2400 \implies y=800 \implies B(0, 800)$$ - **Vértice $C$ (Intersección $4x+3y=2400$ con $2x+y=1000$):** Multiplicamos la segunda por $-3$: $-6x - 3y = -3000$. Sumamos: $(4x+3y) + (-6x-3y) = 2400 - 3000 \implies -2x = -600 \implies x = 300$. Sustituimos: $2(300) + y = 1000 \implies y = 400 \implies C(300, 400)$ - **Vértice $D$ (Intersección $2x+y=1000$ con $y=200$):** $2x + 200 = 1000 \implies 2x = 800 \implies x = 400 \implies D(400, 200)$

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 70x + 50y$ en cada uno de los vértices: - $B(0, 200) = 70(0) + 50(200) = 10.000$ € - $B(0, 800) = 70(0) + 50(800) = 40.000$ € - $B(300, 400) = 70(300) + 50(400) = 21.000 + 20.000 = \mathbf{41.000}$ € - $B(400, 200) = 70(400) + 50(200) = 28.000 + 10.000 = 38.000$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(300, 400)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el máximo o mínimo de la función objetivo siempre se encontrará en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Fabricar 300 televisores LED y 400 televisores QLED.} \\ &\text{El beneficio máximo obtenido es de 41.000 €.} \end{aligned}}$$