Continuidad de una función a trozos y cálculo de áreas

**a) Hallar el valor de $m$ para que la función sea continua en todos los números reales.** Primero analizamos la continuidad de cada una de las expresiones que forman la función por separado: - La primera rama, $f_1(x) = x^2 - 3x + 2$, es una función polinómica de segundo grado, por lo que es continua en todo su dominio de definición, $(-\infty, 3]$. - La segunda rama, $f_2(x) = 3x - 2m$, es una función polinómica de primer grado (recta), por lo que es continua en todo su dominio de definición, $(3, +\infty)$. Por tanto, el único punto donde la función podría presentar una discontinuidad (un salto entre ramas) es en el punto de cambio de definición, **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada rama y además los límites laterales coinciden en los puntos de unión.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 3$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(3)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 3: $\lim_{x \to 3} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$. Calculamos los límites laterales en $x = 3$: **Límite por la izquierda ($x \le 3$):** $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 3x + 2) = 3^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$$ Como el signo $\le$ está en esta rama, también se cumple que **$f(3) = 2$**. **Límite por la derecha ($x \gt 3$):** $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} (3x - 2m) = 3(3) - 2m = 9 - 2m$$ 💡 **Tip:** Para que no haya un salto en la gráfica, el valor al que se acerca la función por la izquierda debe ser el mismo que por la derecha.

Igualamos los límites laterales para que la función sea continua: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x)$$ $$2 = 9 - 2m$$ Resolvemos la ecuación para despejar $m$: $$2m = 9 - 2$$ $$2m = 7$$ $$m = \frac{7}{2} = 3,5$$ ✅ **Resultado (valor de m):** $$\boxed{m = 3,5}$$

**b) Para $m = -1$, calcular el área limitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[5, 7]$.** Si $m = -1$, la segunda rama de la función (que es la que corresponde al intervalo $[5, 7]$ ya que $5 \gt 3$) queda definida como: $$f(x) = 3x - 2(-1) = 3x + 2 \quad \text{para } x \gt 3$$ Para calcular el área en el intervalo $[5, 7]$, comprobamos si la función corta al eje OX en ese intervalo resolviendo $f(x) = 0$: $$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$$ Como $x = -2/3$ no pertenece al intervalo $[5, 7]$, la función no corta al eje en esa zona. Además, para cualquier valor de $x$ entre 5 y 7, la función es positiva (por ejemplo, $f(5) = 17 \gt 0$), por lo que el área es simplemente la integral definida. 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo en el intervalo, deberíamos dividir la integral en dos partes para que las áreas negativas no resten a las positivas. $$\text{Área} = \int_{5}^{7} (3x + 2) \, dx$$

Calculamos la integral definida paso a paso utilizando la Regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva de la función: $$\int (3x + 2) \, dx = \frac{3x^2}{2} + 2x$$ 2. Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[5, 7]$: $$\int_{5}^{7} (3x + 2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{5}^{7}$$ 3. Sustituimos los límites de integración: - Para $x = 7$: $\frac{3(7^2)}{2} + 2(7) = \frac{3 \cdot 49}{2} + 14 = \frac{147}{2} + 14 = 73,5 + 14 = 87,5$ - Para $x = 5$: $\frac{3(5^2)}{2} + 2(5) = \frac{3 \cdot 25}{2} + 10 = \frac{75}{2} + 10 = 37,5 + 10 = 47,5$ 4. Restamos ambos resultados: $$\text{Área} = 87,5 - 47,5 = 40$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es la primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{40 \text{ unidades cuadradas}}$$