Estudio de la temperatura en el cultivo de tomates

**a) Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si ésta supera los 23 ºC.** Para hallar el máximo de la función temperatura $T(x)$, debemos calcular su derivada $T'(x)$ e igualarla a cero, ya que los extremos relativos se encuentran en los puntos donde la pendiente de la recta tangente es nula. Dada la función: $$T(x) = -\frac{1}{14}x^2 + 2x + 10$$ Derivamos término a término: $$T'(x) = -\frac{1}{14} \cdot 2x + 2 = -\frac{2}{14}x + 2 = -\frac{1}{7}x + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $ax^n$ es $a \cdot n \cdot x^{n-1}$ y la derivada de una constante es 0. $$\boxed{T'(x) = -\frac{1}{7}x + 2}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$ (la hora) en el que se alcanza el extremo: $$-\frac{1}{7}x + 2 = 0$$ $$-\frac{1}{7}x = -2$$ $$x = (-2) \cdot (-7) = 14$$ El punto crítico se encuentra a las **14:00 horas**. Para confirmar que es un máximo, podemos usar la segunda derivada: $$T''(x) = -\frac{1}{7}$$ Como $T''(14) = -\frac{1}{7} \lt 0$, confirmamos que en $x = 14$ hay un **máximo relativo**. También podemos observar el signo de la primera derivada en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & [0, 14) & 14 & (14, 24] \\ \hline T'(x) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ $$\boxed{x = 14 \text{ horas}}$$

Calculamos ahora el valor de la temperatura en ese instante sustituyendo $x = 14$ en la función original $T(x)$: $$T(14) = -\frac{1}{14}(14)^2 + 2(14) + 10$$ $$T(14) = -\frac{196}{14} + 28 + 10$$ $$T(14) = -14 + 28 + 10 = 24 \text{ ºC}$$ Como $24 \text{ ºC} \gt 23 \text{ ºC}$, la temperatura máxima **sí supera los 23 ºC**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a las 14:00h con 24 ºC. Sí supera los 23 ºC.}}$$

**b) ¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7 ºC el 14 de agosto?** Como $T(x)$ es una función cuadrática con el coeficiente de $x^2$ negativo ($-\frac{1}{14}$), su gráfica es una parábola abierta hacia abajo. El mínimo absoluto en el intervalo cerrado $[0, 24]$ debe encontrarse en uno de los extremos del intervalo ($x=0$ o $x=24$). Evaluamos la función en los extremos: 1. A las 00:00 horas ($x=0$): $$T(0) = -\frac{1}{14}(0)^2 + 2(0) + 10 = 10 \text{ ºC}$$ 2. A las 24:00 horas ($x=24$): $$T(24) = -\frac{1}{14}(24)^2 + 2(24) + 10 = -\frac{576}{14} + 48 + 10$$ $$T(24) = -\frac{288}{7} + 58 \approx -41.14 + 58 = 16.86 \text{ ºC}$$ 💡 **Tip:** En una función continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están en los puntos críticos o en los bordes del dominio. $$\boxed{T_{min} = 10 \text{ ºC}}$$

El valor más bajo de la temperatura durante todo el día fue de $10 \text{ ºC}$ (a las 0 horas). Dado que el valor mínimo alcanzado ($10 \text{ ºC}$) es mayor que el límite de $7 \text{ ºC}$, podemos afirmar que en ningún momento la temperatura fue inferior a los 7 ºC. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la temperatura no bajó de 7 ºC (el mínimo fue 10 ºC).}}$$