Probabilidad y Estadística 2020 Castilla y Leon
Probabilidad de microcréditos bancarios
P5. (Estadística y probabilidad)
El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad.
a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €?
b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €?**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $H$: El cliente es hombre.
- $M$: El cliente es mujer.
- $I$: El crédito recibido es inferior a $6000 \text{ €}$.
- $S$: El crédito recibido es superior o igual a $6000 \text{ €}$ (suceso contrario a $I$, es decir, $\bar{I}$).
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(H) = 0.30$
- $P(M) = 0.70$
- $P(I|H) = 0.20$
- $P(S|M) = 0.72 \implies P(I|M) = 1 - 0.72 = 0.28$
Representamos la situación mediante un **árbol de probabilidad**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de que un cliente haya recibido un crédito inferior a $6000 \text{ €}$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El suceso $I$ puede ocurrir a través de dos caminos: que el cliente sea hombre y reciba el crédito inferior, o que sea mujer y reciba el crédito inferior:
$$P(I) = P(H) \cdot P(I|H) + P(M) \cdot P(I|M)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(I) = (0.30 \cdot 0.20) + (0.70 \cdot 0.28)$$
$$P(I) = 0.06 + 0.196 = 0.256$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo en el árbol siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I) = 0.256}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabiendo que el crédito es inferior a $6000 \text{ €}$ (suceso $I$), ¿cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer ($M$)?
Utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(M|I) = \frac{P(M) \cdot P(I|M)}{P(I)}$$
Ya tenemos todos los datos necesarios del paso anterior:
- $P(M) \cdot P(I|M) = 0.70 \cdot 0.28 = 0.196$
- $P(I) = 0.256$
Calculamos la división:
$$P(M|I) = \frac{0.196}{0.256} = 0.765625$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "dar la vuelta" a la condición. Si conocemos $P(I|M)$, Bayes nos permite hallar $P(M|I)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|I) = 0.765625}$$