Distribución Normal y de la Media Muestral

**a) Calcular la probabilidad de que haya que sustituir un móvil adquirido durante la campaña de lanzamiento.** Primero definimos la variable aleatoria que describe el problema: - $X$: vida útil del teléfono móvil sin averías (en meses). El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal con: - Media: $\mu = 32$ meses. - Desviación típica: $\sigma = 12.5$ meses. Por tanto, escribimos: $X \sim N(32, 12.5)$. El problema nos dice que un móvil se sustituye si tiene una avería en los primeros 4 meses, es decir, si su vida útil es menor que 4 meses. Debemos calcular: $$P(X \lt 4)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, para calcular probabilidades debemos transformar nuestra variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos el valor $x = 4$: $$Z = \frac{4 - 32}{12.5} = \frac{-28}{12.5} = -2.24$$ Ahora calculamos la probabilidad en la tabla de la normal estándar: $$P(X \lt 4) = P(Z \lt -2.24)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea menor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que sea mayor que su valor positivo: $$P(Z \lt -2.24) = P(Z \gt 2.24)$$ Y como el área total bajo la curva es 1: $$P(Z \gt 2.24) = 1 - P(Z \le 2.24)$$ Buscamos el valor $2.24$ en la tabla $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2.24) = 0.9875$$ Sustituimos: $$P(X \lt 4) = 1 - 0.9875 = 0.0125$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{sustitución}) = 0.0125}$$

**b) Si una tienda vende 64 teléfonos móviles del nuevo modelo el primer día de campaña, determinar la probabilidad de que el tiempo medio sin averías de esos móviles sea superior a 36 meses.** En este apartado no estudiamos un móvil individual, sino el **tiempo medio** de una muestra. Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 64$. - Variable de estudio: $\bar{X}$ (media muestral de la vida útil). Sabemos que si la población original es $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error típico): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{12.5}{\sqrt{64}} = \frac{12.5}{8} = 1.5625$$ Por tanto, la media muestral sigue la distribución: $$\bar{X} \sim N(32, 1.5625)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al trabajar con medias de muestras, la dispersión (desviación típica) disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra $n$.

Queremos calcular la probabilidad de que la media sea superior a 36 meses: $$P(\bar{X} \gt 36)$$ Tipificamos para pasar a la variable $Z$: $$Z = \frac{36 - 32}{1.5625} = \frac{4}{1.5625} = 2.56$$ Entonces: $$P(\bar{X} \gt 36) = P(Z \gt 2.56)$$ Como las tablas suelen dar la probabilidad acumulada hasta un valor (áreas a la izquierda), usamos el complementario: $$P(Z \gt 2.56) = 1 - P(Z \le 2.56)$$ Buscamos el valor $2.56$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 2.56) = 0.9948$$ Realizamos la resta final: $$P(\bar{X} \gt 36) = 1 - 0.9948 = 0.0052$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 36) = 0.0052}$$