Representación de una función definida a trozos

**Representar gráficamente la función $f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x \lt 2 \\ 3 & \text{si } x = 2 \\ 4 - x & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$** Para representar una función a trozos, debemos analizar cada una de sus ramas de forma independiente, prestando especial atención a los valores de $x$ donde cambia la definición (en este caso, en $x=2$). La función tiene tres partes: 1. Una recta $y = x + 2$ para los valores a la izquierda de $2$. 2. Un punto aislado en $x = 2$. 3. Una recta $y = 4 - x$ para los valores a la derecha de $2$. 💡 **Tip:** Recuerda que para dibujar una recta solo necesitas dos puntos, pero en las funciones a trozos es fundamental calcular el valor en el extremo del intervalo (aunque no esté incluido) para saber dónde colocar el **punto abierto**.

La primera rama es $f(x) = x + 2$, válida para $x \lt 2$. Es una función lineal (una recta). Calculamos un par de puntos: - Si $x = 0 \implies f(0) = 0 + 2 = 2$. Punto $(0, 2)$. - Si $x = 1 \implies f(1) = 1 + 2 = 3$. Punto $(1, 3)$. Evaluamos el límite en el extremo del intervalo: - Cuando $x \to 2^-$, $f(x) \to 2 + 2 = 4$. Como la condición es $x \lt 2$, en el punto $(2, 4)$ habrá un **círculo abierto** (no incluido en esta rama). $$\boxed{\text{Rama 1: Recta } y = x + 2 \text{ con punto abierto en } (2, 4)}$$

Analizamos el resto de la función: **Punto aislado:** Para $x = 2$, la función vale exactamente $3$. Esto genera el punto sólido **$(2, 3)$** en la gráfica. **Tercera rama:** La función es $f(x) = 4 - x$, válida para $x \gt 2$. También es una recta. Calculamos puntos: - Evaluamos el límite cuando $x \to 2^+$: $f(x) \to 4 - 2 = 2$. Como $x \gt 2$, pondremos un **círculo abierto** en $(2, 2)$. - Si $x = 3 \implies f(3) = 4 - 3 = 1$. Punto $(3, 1)$. - Si $x = 4 \implies f(4) = 4 - 4 = 0$. Punto $(4, 0)$. 💡 **Tip:** El hecho de que los valores de las ramas y el punto central sean distintos en $x=2$ indica que existe un **salto entre ramas**, es decir, la función es discontinua en ese punto. $$\boxed{\text{Rama 2: Punto } (2, 3) \text{ y Rama 3: Recta } y = 4 - x \text{ con punto abierto en } (2, 2)}$$

Combinando toda la información anterior, representamos la función. Observamos que en $x=2$ hay una discontinuidad inevitable de salto finito. - A la izquierda de $2$, la recta sube hasta casi llegar a $4$. - Justo en $2$, el valor es $3$. - A la derecha de $2$, la recta baja empezando justo después de $2$. Aquí tienes la representación interactiva de la función $f(x)$: