Probabilidad de obtener al menos una cruz

Para resolver este ejercicio, primero debemos entender el experimento. Lanzamos una moneda tres veces de forma consecutiva. En cada lanzamiento, los sucesos posibles son obtener cara ($C$) o obtener cruz ($X$), ambos con una probabilidad de $1/2$ (o $0,5$). Como se trata de lanzamientos independientes, podemos visualizar todas las posibilidades mediante un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En un experimento de $n$ lanzamientos de una moneda, el número total de resultados posibles (espacio muestral) es $2^n$. En este caso, $2^3 = 8$ resultados posibles.

Queremos calcular la probabilidad del suceso $A$: **$A$ = "Obtener al menos una cruz"** Este suceso engloba los casos en los que obtenemos 1 cruz, 2 cruces o 3 cruces. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario** $(\bar{A})$: $$\bar{A} = \text{"No obtener ninguna cruz"} = \text{"Obtener tres caras"} = \{C, C, C\}$$ La propiedad de la probabilidad del suceso contrario nos dice que: $$P(A) = 1 - P(\bar{A})$$ 💡 **Tip:** Siempre que en un problema de probabilidad leas la expresión **"al menos uno"**, intenta resolverlo mediante el suceso contrario, ya que suele simplificar mucho los cálculos.

Como los lanzamientos son independientes, la probabilidad de obtener tres caras seguidas es el producto de las probabilidades de obtener cara en cada lanzamiento: $$P(\bar{A}) = P(C \cap C \cap C) = P(C) \cdot P(C) \cdot P(C)$$ $$P(\bar{A}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$ O en formato decimal: $$P(\bar{A}) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$$

Finalmente, aplicamos la fórmula del suceso contrario para hallar la probabilidad de obtener al menos una cruz: $$P(A) = 1 - P(\bar{A})$$ $$P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$ Si expresamos el resultado en forma decimal: $$P(A) = 1 - 0,125 = 0,875$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(\text{al menos una cruz}) = \frac{7}{8} = 0,875}$$