Sistema de ecuaciones lineales: Precios de modelos de telefonía

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo. (1 pto)** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan los precios de cada modelo de teléfono en euros: - $x$: precio del teléfono de gama reducida. - $y$: precio del teléfono de gama media. - $z$: precio del teléfono de gama superior. A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "El precio del teléfono de gama superior es el mismo que el de los otros dos juntos": $$z = x + y \implies x + y - z = 0$$ 2. "Vendiendo 50 teléfonos de precio medio se obtiene el mismo dinero que con 30 del superior": $$50y = 30z \implies 50y - 30z = 0$$ Simplificando entre 10: **$5y - 3z = 0$**. 3. "Por la venta de 5 reducidos, 5 de medio y 10 de superior se obtienen 7500 euros": $$5x + 5y + 10z = 7500$$ Simplificando entre 5: **$x + y + 2z = 1500$**. 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible facilita enormemente los cálculos posteriores. El sistema de ecuaciones resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 5y - 3z = 0 \\ x + y + 2z = 1500 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Utilizaremos el método de sustitución, ya que la primera ecuación nos da una relación directa entre las variables. Observamos que en la primera y tercera ecuación aparecen los términos $x+y$. De la ecuación (1) sabemos que $x + y = z$. Sustituimos este valor directamente en la ecuación (3): $$(x + y) + 2z = 1500 \implies z + 2z = 1500$$ $$3z = 1500 \implies z = \frac{1500}{3} = 500$$ Ya tenemos el precio del modelo superior: $$\boxed{z = 500 \text{ €}}$$

Ahora sustituimos el valor de $z = 500$ en la ecuación (2) para hallar $y$: $$5y - 3(500) = 0$$ $$5y - 1500 = 0 \implies 5y = 1500$$ $$y = \frac{1500}{5} = 300$$ Finalmente, usamos la relación $x + y = z$ para hallar $x$: $$x + 300 = 500$$ $$x = 500 - 300 = 200$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales para verificar que se cumplen todas las condiciones. ✅ **Solución final:** $$\boxed{x = 200 \text{ €}, \quad y = 300 \text{ €}, \quad z = 500 \text{ €}}$$