Optimización de la producción de tartas de chocolate

**a) Expresa la función objetivo para obtener un beneficio máximo. (0.25 ptos)** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de tartas del tipo A. - $y$: número de tartas del tipo B. El beneficio obtenido por cada tarta A es de $5$ € y por cada tarta B es de $4$ €. La función objetivo, que representa el beneficio total $B(x, y)$ que queremos maximizar, será la suma de los beneficios individuales: 💡 **Tip:** La función objetivo siempre asocia las ganancias (o costes) unitarios a las variables elegidas. ✅ **Resultado (Función objetivo):** $$\boxed{f(x, y) = 5x + 4y}$$ (También se puede expresar como $B(x, y) = 5x + 4y$).

**b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto).** Para escribir las restricciones, debemos tener en cuenta que las unidades deben ser homogéneas. Como los ingredientes de las tartas están en gramos (gr) y las existencias en kilogramos (kg), convertimos el stock total: $$9 \text{ kg} = 9000 \text{ gr}$$ Analizamos el uso de cada tipo de chocolate: 1. **Chocolate con leche:** La tarta A usa $100$ gr y la B usa $200$ gr. No podemos superar los $9000$ gr: $$100x + 200y \le 9000 \implies x + 2y \le 90$$ 2. **Chocolate negro:** La tarta A usa $200$ gr y la B usa $100$ gr. No podemos superar los $9000$ gr: $$200x + 100y \le 9000 \implies 2x + y \le 90$$ 3. **No negatividad:** No se pueden producir cantidades negativas de tartas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor facilita mucho el dibujo de las rectas y el cálculo de los vértices. ✅ **Sistema de restricciones:** $$\boxed{\begin{cases} x + 2y \le 90 \\ 2x + y \le 90 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}}$$

Para representar el recinto, dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones y determinamos el semiplano solución para cada una: - **Recta $r_1$ ($x + 2y = 90$):** Pasa por $(0, 45)$ y $(90, 0)$. El punto $(0,0)$ cumple $0+0 \le 90$, por lo que la región es hacia el origen. - **Recta $r_2$ ($2x + y = 90$):** Pasa por $(0, 90)$ y $(45, 0)$. El punto $(0,0)$ cumple $0+0 \le 90$, por lo que la región es hacia el origen. El recinto resultante es un polígono cuyos vértices debemos identificar para aplicar el Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

Los vértices del recinto son los puntos de corte de las rectas que lo limitan: 1. **Origen:** $A(0, 0)$. 2. **Corte de $r_2$ con eje $X$ ($y=0$):** $2x = 90 \implies x = 45 \implies B(45, 0)$. 3. **Corte entre $r_1$ y $r_2$:** Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 90 \\ 2x + y = 90 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por $-2$: $-4x - 2y = -180$. Sumamos a la primera: $(x - 4x) + (2y - 2y) = 90 - 180 \implies -3x = -90 \implies x = 30$. Sustituimos $x$: $30 + 2y = 90 \implies 2y = 60 \implies y = 30$. Obtenemos el punto $C(30, 30)$. 4. **Corte de $r_1$ con eje $Y$ ($x=0$):** $2y = 90 \implies y = 45 \implies D(0, 45)$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices del recinto factible.

**c) Determina el número de tartas de cada tipo que puede vender para obtener beneficio máximo. (0.25 ptos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 5x + 4y$ en cada uno de los vértices hallados: $$\begin{array}{l|l} \text{Vértice } (x, y) & f(x, y) = 5x + 4y \\\hline A(0, 0) & f(0, 0) = 5(0) + 4(0) = 0 \text{ €} \\ B(45, 0) & f(45, 0) = 5(45) + 4(0) = 225 \text{ €} \\ C(30, 30) & f(30, 30) = 5(30) + 4(30) = 150 + 120 = 270 \text{ €} \\ D(0, 45) & f(0, 45) = 5(0) + 4(45) = 180 \text{ €} \end{array}$$ Comparando los resultados, el valor máximo es **$270$ €**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben vender 30 tartas de tipo A y 30 tartas de tipo B.}}$$