Continuidad de una función a trozos y representación gráfica

**a) ¿Para qué valor de $c$ la función $f(x)$ es continua en $x = c$? (0.5 ptos)** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to c^-} f(x)$ (límite por la izquierda). 2. $\lim_{x \to c^+} f(x)$ (límite por la derecha). 3. $f(c)$ (valor de la función). En este caso, como las ramas de la función son polinómicas (una recta y una parábola), son continuas en sus respectivos dominios de definición. El único punto de posible discontinuidad es el punto de salto entre ramas, $x = c$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que no haya un salto en la gráfica, las dos ramas deben "encontrarse" en el mismo valor de $y$ cuando $x = c$.

Calculamos los límites laterales en $x = c$: - **Límite por la izquierda ($x \le c$):** usamos la primera rama. $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c} (-4x + 4) = -4c + 4$$ - **Límite por la derecha ($x \gt c$):** usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 - 4x) = c^2 - 4c$$ Para que la función sea continua, ambos límites deben ser iguales: $$-4c + 4 = c^2 - 4c$$

Resolvemos la ecuación resultante: $$-4c + 4 = c^2 - 4c$$ Podemos simplificar sumando $4c$ en ambos lados: $$4 = c^2$$ Extraemos la raíz cuadrada: $$c = \pm \sqrt{4} \implies c = 2 \quad \text{y} \quad c = -2$$ Por tanto, la función es continua en $x = c$ para dos posibles valores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 2 \quad \text{y} \quad c = -2}$$

**b) Para $c = 2$, representa gráficamente la función $f$. (1 pto)** Sustituimos $c = 2$ en la expresión original para obtener la función concreta que debemos representar: $$f(x) = \begin{cases} -4x + 4 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 4x & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Analizaremos cada rama por separado para facilitar el dibujo.

**Rama 1:** $y = -4x + 4$ si $x \le 2$. Es una línea recta con pendiente negativa ($m = -4$). Necesitamos un par de puntos, incluyendo el extremo del intervalo: - Si $x = 2 \implies y = -4(2) + 4 = -4$. Punto: $(2, -4)$. - Si $x = 0 \implies y = -4(0) + 4 = 4$. Punto: $(0, 4)$. - Si $x = 1 \implies y = -4(1) + 4 = 0$. Punto: $(1, 0)$.

**Rama 2:** $y = x^2 - 4x$ si $x > 2$. Es una parábola convexa (forma de $\cup$). Calculamos sus elementos clave: - **Vértice:** $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$. La ordenada del vértice es $y_v = 2^2 - 4(2) = -4$. Punto: $(2, -4)$. - **Puntos de corte con el eje X:** $x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0$ y $x = 4$. Como esta rama solo existe para $x > 2$, solo representamos el punto $(4, 0)$. Como en $x=2$ ambas ramas valen $-4$, la función es continua (no hay salto), tal como calculamos en el apartado anterior. 💡 **Tip:** Al representar funciones a trozos, asegúrate de marcar bien el punto de unión. Como es continua, no habrá círculos abiertos o cerrados separados.

Combinando ambas partes: - Desde $-\infty$ hasta $x=2$, dibujamos la recta que pasa por $(0, 4)$ y termina en $(2, -4)$. - Desde $x=2$ hacia $+\infty$, dibujamos la rama de la parábola que nace en el vértice $(2, -4)$ y sube pasando por $(4, 0)$. ✅ **Representación gráfica:**