Cálculo de parámetros en una función polinómica

Para hallar los parámetros $a, b$ y $c$, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas. Contamos con tres datos: 1. **Máximo relativo en $x = -1$**: Esto implica que la primera derivada en ese punto es cero: $f'(-1) = 0$. 2. **Punto de inflexión en $x = 1$**: Esto implica que la segunda derivada en ese punto es cero: $f''(1) = 0$. 3. **El punto de inflexión es $(1, -9)$**: Esto implica que la función pasa por ese punto: $f(1) = -9$. Calculamos las derivadas de $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones polinómicas, los extremos relativos anulan la primera derivada y los puntos de inflexión anulan la segunda derivada.

Utilizamos la condición del punto de inflexión $f''(1) = 0$ en la segunda derivada: $$f''(1) = 6(1) + 2a = 0$$ $$6 + 2a = 0$$ $$2a = -6$$ $$a = \frac{-6}{2} = -3$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -3}$$ 💡 **Tip:** Es recomendable empezar por la condición de la segunda derivada si esta contiene menos parámetros, como ocurre en este caso.

Sabiendo que $a = -3$, la primera derivada es $f'(x) = 3x^2 + 2(-3)x + b = 3x^2 - 6x + b$. Como existe un máximo en $x = -1$, se cumple $f'(-1) = 0$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + b = 0$$ $$3(1) + 6 + b = 0$$ $$9 + b = 0$$ $$b = -9$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = -9}$$

Finalmente, usamos el hecho de que el punto $(1, -9)$ pertenece a la gráfica de la función, es decir, $f(1) = -9$. Sustituimos $a = -3$ y $b = -9$ en la función original $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + c$: $$f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - 9(1) + c = -9$$ $$1 - 3 - 9 + c = -9$$ $$-11 + c = -9$$ $$c = -9 + 11$$ $$c = 2$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{c = 2}$$

Los valores hallados son **$a = -3$, $b = -9$ y $c = 2$**. La función es: $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$$ Podemos verificar rápidamente: - $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$. Si $x = -1 \implies f'(-1) = 3 + 6 - 9 = 0$. Además, $f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 \lt 0$, lo que confirma que es un **máximo**. - $f''(x) = 6x - 6$. Si $x = 1 \implies f''(1) = 6 - 6 = 0$. Hay cambio de signo en $x=1$, por lo que es un **punto de inflexión**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f''(x) = 6x-6 & - & 0 & + \end{array}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -3, \; b = -9, \; c = 2}$$