Probabilidad y Estadística 2020 Castilla la Mancha
Probabilidad condicionada: Sobrepeso e Hipertensión
3. El 10 % de los adultos padece sobrepeso. Se sabe por estudios previos que el riesgo de padecer hipertensión arterial es dos veces mayor en las personas con sobrepeso que las que no tienen sobrepeso y también que la probabilidad de que un adulto sin sobrepeso padezca hipertensión arterial es del 14.8 %.
a) ¿Qué porcentaje de adultos tienen sobrepeso e hipertensión arterial? (0.75 ptos)
b) Si se escoge un adulto al azar y tiene hipertensión arterial, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sobrepeso? (0.75 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y extracción de datos
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
* $S$: El adulto tiene sobrepeso.
* $\bar{S}$: El adulto no tiene sobrepeso.
* $H$: El adulto padece hipertensión arterial.
* $\bar{H}$: El adulto no padece hipertensión arterial.
Extraemos los datos numéricos del enunciado:
* $P(S) = 10\% = 0.10 \implies P(\bar{S}) = 1 - 0.10 = 0.90$.
* $P(H|\bar{S}) = 14.8\% = 0.148$.
* El riesgo de hipertensión con sobrepeso es el doble que sin sobrepeso:
$$P(H|S) = 2 \cdot P(H|\bar{S}) = 2 \cdot 0.148 = 0.296.$$
💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, es fundamental identificar las probabilidades condicionadas (frases como "el riesgo entre los que..." o "si se sabe que...").
Paso 2
Representación mediante árbol de probabilidad
Para visualizar todas las situaciones posibles, utilizamos un diagrama de árbol:
Paso 3
Cálculo del porcentaje de adultos con sobrepeso e hipertensión
**a) ¿Qué porcentaje de adultos tienen sobrepeso e hipertensión arterial? (0.75 ptos)**
Nos piden la probabilidad de la intersección de ambos sucesos, es decir, que ocurra $S$ y $H$ a la vez:
$$P(S \cap H) = P(S) \cdot P(H|S)$$
Sustituyendo los valores conocidos:
$$P(S \cap H) = 0.10 \cdot 0.296 = 0.0296$$
Para dar la respuesta en porcentaje, multiplicamos por 100:
$$0.0296 \cdot 100 = 2.96\%$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{2.96\%}$$
Paso 4
Cálculo de la probabilidad total de hipertensión
**b) Si se escoge un adulto al azar y tiene hipertensión arterial, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sobrepeso? (0.75 ptos)**
Para resolver este apartado, primero necesitamos calcular la probabilidad total de que un adulto sea hipertenso, $P(H)$. Según el **Teorema de la Probabilidad Total**, un adulto puede ser hipertenso viniendo del grupo con sobrepeso o del grupo sin sobrepeso:
$$P(H) = P(S \cap H) + P(\bar{S} \cap H)$$
$$P(H) = P(S) \cdot P(H|S) + P(\bar{S}) \cdot P(H|\bar{S})$$
Sustituimos los valores:
$$P(H) = 0.0296 + (0.90 \cdot 0.148)$$
$$P(H) = 0.0296 + 0.1332 = 0.1628$$
La probabilidad de que un adulto elegido al azar tenga hipertensión es del $16.28\%$.
Paso 5
Aplicación del Teorema de Bayes
Ahora aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad de tener sobrepeso sabiendo que ya padece hipertensión ($P(S|H)$):
$$P(S|H) = \frac{P(S \cap H)}{P(H)}$$
Utilizamos los resultados obtenidos anteriormente:
$$P(S|H) = \frac{0.0296}{0.1628} \approx 0.1818$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "invertir" la condición: conocemos $P(H|S)$ y buscamos $P(S|H)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S|H) \approx 0.1818 \text{ (o } 18.18\% \text{)}} $$