Intervalo de confianza para la media y análisis de su amplitud

**a) Calcula el intervalo de confianza del 95 % para el consumo medio de televisión en Castilla-La Mancha. (1 pto)** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 30$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 50$ personas. - Media muestral: $\bar{x} = 220$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$ le corresponde el valor: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: para el $90\% \to 1.645$, para el $95\% \to 1.96$ y para el $99\% \to 2.575$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{30}{\sqrt{50}} = 1.96 \cdot \frac{30}{7.071} \approx 1.96 \cdot 4.2426 = 8.3155$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (220 - 8.3155, 220 + 8.3155) = (211.6845, 228.3155)$$ Redondeando a dos decimales: ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{95\%} = (211.68, 228.32)}$$

**b) Razona cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5 ptos)** La amplitud del intervalo de confianza es la diferencia entre el extremo superior y el inferior, es decir, el doble del error: $$A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para que la amplitud $A$ disminuya, tenemos dos opciones principales (ya que $\sigma$ es un parámetro poblacional fijo): 1. **Aumentar el tamaño de la muestra ($n$):** Como $n$ está en el denominador de la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, al aumentar $n$ disminuimos el error y, por tanto, la amplitud. 2. **Disminuir el nivel de confianza ($1 - \alpha$):** Si disminuimos la confianza (por ejemplo, del $95\%$ al $90\%$), el valor crítico $z_{\alpha/2}$ será menor. Al ser un factor multiplicador, esto reducirá el error y la amplitud del intervalo. 💡 **Tip:** Existe un compromiso entre precisión y seguridad. Si queremos un intervalo más estrecho (más preciso) sin perder seguridad (confianza), la única vía es aumentar el tamaño de la muestra. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumentando el tamaño de la muestra } n \text{ o disminuyendo el nivel de confianza.}}$$

**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ de consumo diario de televisión en Castilla-La Mancha es de 230 minutos con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)** La respuesta es **no**, por dos razones fundamentales: 1. **Razonamiento estadístico:** En estadística clásica, la media poblacional $\mu$ es un valor **fijo pero desconocido**. No tiene sentido asignar una probabilidad a que $\mu$ sea un valor concreto (como 230). Lo que tiene una probabilidad asociada es el *intervalo* (que varía según la muestra) de contener a ese parámetro fijo. 2. **Basándonos en el intervalo calculado:** Hemos calculado en el apartado (a) que, con un $95\%$ de confianza, la media se encuentra entre $211.68$ y $228.32$ minutos. El valor de $230$ minutos **está fuera** de este intervalo. Si para un $95\%$ ya queda fuera, para un nivel de confianza menor ($90\%$), el intervalo sería aún más estrecho y seguiría sin incluir el valor 230. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, porque } 230 \notin (211.68, 228.32) \text{ y la media poblacional es un valor fijo, no una variable aleatoria.}}$$