Continuidad de funciones a trozos y estudio de extremos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 0$? (0.75 ptos)** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto, es decir, $f(0)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. En una función definida a trozos, esto implica que los límites laterales en el punto de salto entre ramas deben ser iguales. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista el límite global, el límite por la izquierda $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y por la derecha $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ deben ser el mismo valor finito.

Calculamos primero el valor de la función y el límite por la izquierda usando la primera rama ($x \le 0$): $$f(0) = \lim_{x \to 0^-} (x - t) = 0 - t = -t$$ Ahora calculamos el límite por la derecha usando la segunda rama ($x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} [(x - t)^2 - 5(x + t) + 4] = (0 - t)^2 - 5(0 + t) + 4 = t^2 - 5t + 4$$

Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$-t = t^2 - 5t + 4$$ Reordenamos la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$t^2 - 4t + 4 = 0$$ Esta es una identidad notable $(t - 2)^2 = 0$. Resolviendo: $$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ ✅ **Resultado (valor de t):** $$\boxed{t = 2}$$

**b) Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0, +\infty)$. (0.75 ptos)** Si sustituimos $t = 0$ en la rama correspondiente al intervalo $(0, +\infty)$, la función queda: $$f(x) = (x - 0)^2 - 5(x + 0) + 4 = x^2 - 5x + 4$$ Para hallar los extremos relativos (máximos o mínimos), primero debemos calcular la derivada $f'(x)$ e igualarla a cero. $$f'(x) = 2x - 5$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero se llaman puntos críticos. No olvides comprobar si el valor obtenido pertenece al intervalo de estudio.

Igualamos la derivada a cero: $$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} = 2,5$$ Como $2,5 \in (0, +\infty)$, es un posible extremo. Para clasificarlo, usamos la segunda derivada: $$f''(x) = 2$$ Como $f''(2,5) = 2 \gt 0$, la función tiene un **mínimo relativo** en $x = 2,5$. Calculamos su coordenada $y$: $$f(2,5) = (2,5)^2 - 5(2,5) + 4 = 6,25 - 12,5 + 4 = -2,25$$ ✅ **Resultado (extremo relativo):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (2,5, -2,25)}$$

**c) Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** Utilizamos el punto crítico hallado anteriormente ($x = 2,5$) para dividir el intervalo $(0, +\infty)$ y estudiar el signo de $f'(x) = 2x - 5$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2,5) & 2,5 & (2,5, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 2,5)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = 2(1)-5 = -3 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(2,5, +\infty)$, tomamos $x=3$: $f'(3) = 2(3)-5 = 1 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (intervalos):** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Decreciente: } (0, 2,5) \\ & \text{Creciente: } (2,5, +\infty) \end{aligned}}$$